设笛卡儿平面上的点集 $S$ 满足 $\left| \left| |x \right|-2\left| -1 \right|+\left| \left| |y \right|-2 \right|-1 \right|=1$．若由 $S$ 组成的圆形是由厚度不计的绳子围成的，那么需要绳子的总长为 $a\sqrt{b}$，其中 $a$，$b$ 为正整数，且 $b$ 不能被任意素数的平方整除．求 $a+b$．
【难度】
【出处】
1997年第15届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
66
【解析】
利用对称性，在第1象限中画出图形，并将其沿坐标轴翻折．在第1象限中已知方程为
$\left| \left| x-2 \right|-1 \right|+\left|\left| y-2 \right|-1 \right|=1$．
再次利用对称性，在 $x\geqslant 2$，$y\geqslant 2$ 的区域中绘图，并将其沿直线 $x=2$ 及 $y=2$ 翻折，在这个区域内，已知方程进一步化简为 $\left| x-3 \right|+\left| y-3 \right|=1$，
这个方程所表示的图形是一个正方形，其顶点为 $\left(3 ,2 \right)$，$\left( 4 ,3 \right)$，$\left( 3 ,4\right)$ 和 $\left( 2 ,3 \right)$，周长为 $4\sqrt{2}$（图（a））．
沿直线 $x=2$ 及 $y=2$ 的翻折，产生了一系列的正方形，它们的周长为 $4\sqrt{2}\times 4=16\sqrt{2}$，如图（b）所示．沿坐标轴的翻折，又会产生一系列的正方形，它们的总周长为 $4\times 16\sqrt{2}=64\sqrt{2}$，如图（c）所示．因此 $a+b=64+2=66$．
$\left| \left| x-2 \right|-1 \right|+\left|\left| y-2 \right|-1 \right|=1$．
再次利用对称性，在 $x\geqslant 2$，$y\geqslant 2$ 的区域中绘图，并将其沿直线 $x=2$ 及 $y=2$ 翻折，在这个区域内，已知方程进一步化简为 $\left| x-3 \right|+\left| y-3 \right|=1$，
这个方程所表示的图形是一个正方形，其顶点为 $\left(3 ,2 \right)$，$\left( 4 ,3 \right)$，$\left( 3 ,4\right)$ 和 $\left( 2 ,3 \right)$，周长为 $4\sqrt{2}$（图（a））．
沿直线 $x=2$ 及 $y=2$ 的翻折，产生了一系列的正方形，它们的周长为 $4\sqrt{2}\times 4=16\sqrt{2}$，如图（b）所示．沿坐标轴的翻折，又会产生一系列的正方形，它们的总周长为 $4\times 16\sqrt{2}=64\sqrt{2}$，如图（c）所示．因此 $a+b=64+2=66$．
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