设 $\displaystyle x=\frac{\sum\limits_{n=1}^{44}{\cos n{}^\circ }}{\sum\limits_{n=1}^{44}{\sin n{}^\circ }}$，那么不超过 $100x$ 的最大整数是多少？
【难度】
【出处】
1997年第15届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
241
【解析】
因为 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{44}{\sin n{}^\circ }+\sum\limits_{n=1}^{44}{\cos n{}^\circ }=\sum\limits_{n=1}^{44}{\sqrt{2}\cos \left( 45-n{}^\circ \right)}=\sum\limits_{n=1}^{44}{\sqrt{2}\cos n{}^\circ }$．
从而 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{44}{\sin n{}^\circ =\left( \sqrt{2}-1 \right)\sum\limits_{n=1}^{44}{\cos n{}^\circ }}$，故 $x=1+\sqrt{2}$，且 $\left[100x \right]=241$．
从而 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{44}{\sin n{}^\circ =\left( \sqrt{2}-1 \right)\sum\limits_{n=1}^{44}{\cos n{}^\circ }}$，故 $x=1+\sqrt{2}$，且 $\left[100x \right]=241$．
答案
解析
备注
