对于正整数 $n$，如果存在某个正整数 $m$，使得 $m!$ 的十进制表示中的末尾恰好有 $n$ 个零，那么就称 $n$ 是“阶乘尾零数”．在小于1992的正整数中有多少个不是“阶乘尾零数”？
【难度】
【出处】
1992年第10届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
396
【解析】
设 $f\left( m \right)$ 是自然数 $m!$ 的十进表示式中尾部连续为零的零的个数，则 $f\left( m \right)$ 是 $m$ 的非递减的函数．而且当 $m$ 是5的倍数时，有
$f\left( m\right)=f\left( m+1 \right)=f\left( m+2 \right)=f\left( m+3 \right)$
$=f\left( m+4 \right)<f\left( m+5 \right)$．
这样，我们可把数 $f\left( k\right)$ 按 $k=0 1 2 \cdots $ 排列，而得0，0，0，0，0，1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，…，4，4，4，4，4，6，6，6，6，6，…．（1）
每个数在这个排列中出现5次，我们希望知道的是1991是否出现在这个排列中，众所周知（也容易看出）$m!$ 的尾部零的数目是 $\displaystyle f\left( m \right)=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\left[\frac{m}{{{5}^{k}}} \right]}$，
其中 $\left[ a \right]$ 表示不超过 $a$ 的最大整数．如果存在一个 $m$ 使 $f\left( m\right)=1991$，则
$\displaystyle 1991<\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{m}{{{5}^{k}}}}=m\frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{m}{4}$．
因此 $m>4\cdot 1991=7964$．应用前述 $f\left(m \right)$ 之计算公式可知 $f\left( 7965 \right)=1988$，据此可算得 $f\left( 7975\right)=1991$．现在将这个排列（1）一直排到 $f\left(7979 \right)=1991$ 那一项：
0，0，0，0，0，1，1，1，1，1，…，1989，1991，1991，1991，1991，1991．
这个排列中共有7980项．排列中每个整数出现5次，因此该排列中有 $\frac{7980}{5}=1596$ 个不同的值，这些值是 $\left\{ 0 1 2 \cdots 1991\right\}$ 中的一部分，所以有 $1992-1596=396$ 个整数不在这个排列中出现．故小于1992的正整数中有396个正整数不是“阶乘尾零数”．
$f\left( m\right)=f\left( m+1 \right)=f\left( m+2 \right)=f\left( m+3 \right)$
$=f\left( m+4 \right)<f\left( m+5 \right)$．
这样，我们可把数 $f\left( k\right)$ 按 $k=0 1 2 \cdots $ 排列，而得0，0，0，0，0，1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，…，4，4，4，4，4，6，6，6，6，6，…．（1）
每个数在这个排列中出现5次，我们希望知道的是1991是否出现在这个排列中，众所周知（也容易看出）$m!$ 的尾部零的数目是 $\displaystyle f\left( m \right)=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\left[\frac{m}{{{5}^{k}}} \right]}$，
其中 $\left[ a \right]$ 表示不超过 $a$ 的最大整数．如果存在一个 $m$ 使 $f\left( m\right)=1991$，则
$\displaystyle 1991<\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{m}{{{5}^{k}}}}=m\frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{m}{4}$．
因此 $m>4\cdot 1991=7964$．应用前述 $f\left(m \right)$ 之计算公式可知 $f\left( 7965 \right)=1988$，据此可算得 $f\left( 7975\right)=1991$．现在将这个排列（1）一直排到 $f\left(7979 \right)=1991$ 那一项：
0，0，0，0，0，1，1，1，1，1，…，1989，1991，1991，1991，1991，1991．
这个排列中共有7980项．排列中每个整数出现5次，因此该排列中有 $\frac{7980}{5}=1596$ 个不同的值，这些值是 $\left\{ 0 1 2 \cdots 1991\right\}$ 中的一部分，所以有 $1992-1596=396$ 个整数不在这个排列中出现．故小于1992的正整数中有396个正整数不是“阶乘尾零数”．
答案
解析
备注
