在给定圆的圆周上有2000个点，任取一点标上数1，按顺时针方向在标有1的点后数两个点，在第二个点上标上数2，从标有2的点后数3个点，在第三个点上标上数3（如图）．继续这个过程，分别标出1，2，…，1993，在圆周上的这些点中，有些点可能被标上多个数，有些点可能没有被标数，问标有数1993的那个点上被标出的最小数是多少？
【难度】
【出处】
1993年第11届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
118
【解析】
设 $A$ 点被标了1，设 $n$ 是任意的正整数，我们可以按以下方法找出标有 $n$ 的点，从 $A$ 点出发，沿着顺时针方向围绕圆周数到 $1+1+2+\cdots +n=\frac{1}{2}n\left( n+1 \right)$ 的点为所求．于是对任意两个正整数 $l$ 和 $m$ 被标在同一点上的充分必要的条件是 $\frac{1}{2}l\left( l+1 \right)$ 和 $\frac{1}{2}m\left(m+1 \right)$ 被2000除有相同的余数．如果 $k$ 是与1993同标于一点的正整数，则 $2\left(\frac{1993\left( 1993+1 \right)}{2}-\frac{k\left( k+1 \right)}{2}\right)=\left( 1993-k \right)\left( 1994+k \right)$ 一定是 $4000={{2}^{5}}\times{{5}^{3}}$ 的倍数．明显地，$k=1993$ 时，上述条件被满足，我们需要考查是否存在小于1993的 $k$ 也满足上面条件，如果有这样的 $k$，要找最小的一个．由于 $1993-k$ 和 $1994+k$ 具有不同的奇偶性，并且不会同时是5的倍数，于是其中一个是125的倍数，一个是32的倍数，如果 $k<1993$，则 $1994+k<32\times125=4000$，则只能有一个是125的倍数，另一个则是32的倍数，我们考虑两种情况．
情况1：设 $1993-k$ 是125的倍数，$1994+k$ 是32的倍数．
因为 $1993=15\times125+118$，而 $1994=62\times 32+10=63\times 32-22$，从而 $k-118$ 和 $k-22$ 应分别是125和32的倍数，换言之，$k=118+125r$ 和 $k=22+32s$ 对于某些非负整数 $r$ 和 $s$ 成立．很显然，当 $r=0$，$s=3$ 时，才能使得 $k\geqslant 118$，即 $k=118$．
情况2：设 $1994+k$ 是125的倍数，$1993-k$ 是32的倍数．
由于，$1994=15\times125+119$，$1993=62\times 32+9$，故 $k+119$ 和 $k-9$ 分别是 $125$ 和32的倍数．这样 $k=125r-119$，$k=32s+9$．其中 $r$ 和 $s$ 是非负整数，由此可得：$125r=128+32s$，那么 $r$ 是32的倍数，于是，$k=125\times32t-119$，其中 $r$ 是某个整数，故任何满足上述条件的正整数 $k$ 必然大于1993．
所以，118是与1993标于同一点的最小的正整数．
情况1：设 $1993-k$ 是125的倍数，$1994+k$ 是32的倍数．
因为 $1993=15\times125+118$，而 $1994=62\times 32+10=63\times 32-22$，从而 $k-118$ 和 $k-22$ 应分别是125和32的倍数，换言之，$k=118+125r$ 和 $k=22+32s$ 对于某些非负整数 $r$ 和 $s$ 成立．很显然，当 $r=0$，$s=3$ 时，才能使得 $k\geqslant 118$，即 $k=118$．
情况2：设 $1994+k$ 是125的倍数，$1993-k$ 是32的倍数．
由于，$1994=15\times125+119$，$1993=62\times 32+9$，故 $k+119$ 和 $k-9$ 分别是 $125$ 和32的倍数．这样 $k=125r-119$，$k=32s+9$．其中 $r$ 和 $s$ 是非负整数，由此可得：$125r=128+32s$，那么 $r$ 是32的倍数，于是，$k=125\times32t-119$，其中 $r$ 是某个整数，故任何满足上述条件的正整数 $k$ 必然大于1993．
所以，118是与1993标于同一点的最小的正整数．
答案
解析
备注
