直线 ${{l}_{1}}$ 和 ${{l}_{2}}$ 均通过原点，与 $x$ 轴的正半轴在第一象限中分别形成 $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{70}$ 和 $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{54}$ 的夹角．对于任意一条直线 $l$ 进行变换，记该变换为 $R$，得到另一条直线 $R\left( l \right)$，变换 $R$ 为：$l$ 先经 ${{l}_{1}}$ 反射，所得直线（即以 ${{l}_{1}}$ 为对称轴，$l$ 的轴对称图形）再经 ${{l}_{2}}$ 反射，得到 $R\left( l \right)$．令 ${{R}^{(1)}}\left( l \right)=R\left( l \right)$；对于 $n\geqslant 2$，定义 ${{R}^{\left( n \right)}}\left( l \right)=R\left( {{R}^{\left( n-1 \right)}}\left( l \right) \right)$．已知直线 $l$ 为 $y$，$y=\frac{19}{92}x$，求使得 ${{R}^{\left( m \right)}}\left( l \right)=l$ 的最小正整数 $m$．
【难度】
【出处】
1992年第10届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
945
【解析】
如图所示，设 ${{\lambda }_{0}}$ 和 $\lambda $ 是过原点与 $x$ 轴成 ${{\theta }_{0}}$ 和 $\theta $ 角的两条直线．当 $\lambda $ 通过 ${{\lambda }_{0}}$ 反射，所得直线 ${\lambda }'$ 应与 $x$ 轴成 ${{\theta }_{0}}+\left( {{\theta }_{0}}-\theta \right)={{\theta }_{0}}-\theta $ 的角．这样，如果 $\lambda$ 经 ${{l}_{1}}$ 反向，则反射所得的直线 ${{\lambda }_{1}}$ 为一通过原点且与 $x$ 轴成 $\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{70-\theta }$ 的直线，${{\lambda}_{1}}$ 经 ${{\lambda }_{2}}$ 反射所得直线 ${{\lambda }_{1}}$ 是过点且与 $x$ 轴成 $2\times \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{54}-\left( 2\times\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{70}-\theta \right)=-\frac{8\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{945}+\theta $ 角之直线．故 $R\left(\lambda \right)$ 应是将直线 $\lambda$ 以原点为轴旋转 $-\frac{8\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{945}$ 弧度所得的直线，而 ${{R}^{\left(m \right)}}\left( \lambda \right)$ 是旋转 $-\frac{8m\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{945}$ 弧度所得的直线．欲使 ${{R}^{\left( m \right)}}\left( \lambda \right)=\lambda $ 成立，$\frac{8m}{945}$ 必须是一整数．因此，使该式为整数的最小 $m$ 值是945．
答案
解析
备注
