函数 $f$ 被定义为 $f\left( x \right)=\frac{ax+b}{cx+d}$，其中 $a$，$b$，$c$，$d$ 为非零实数，已知 $f\left( 19 \right)=19$，$f\left( 97 \right)=97$，且若 $x\ne -\frac{d}{c}$，则对于任意 $x$ 均有 $f\left( f\left( x \right) \right)=x$，试找出 $f\left( x \right)$ 值域以外的唯一数．
【难度】
【出处】
1997年第15届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
58
【解析】
由题意，对任意 $x\ne -\frac{d}{c}$，有 $f\left( f\left( x \right) \right)=x$，故 $\frac{a\cdot\frac{ax+b}{cx+d}+b}{c\cdot \frac{ax+b}{cx+d}+d}=x$，
化简得 $\left( a+d\right)c{{x}^{2}}+\left( {{d}^{2}}-{{a}^{2}} \right)x-b\left( a+d \right)=0$．
从而 $a+d=0$，${{d}^{2}}-{{a}^{2}}=0$，故 $d=-a$．
又由题意，$19$，$97$ 是 $f\left( x\right)=x$，即 $\frac{ax+b}{cx+d}=x$ 的两根，从而19，97是 $c{{x}^{2}}+\left(d-a \right)x-b=0$ 的两根，故 $\left\{ \begin{align}
& \frac{a-d}{c}=116 \\
& -\frac{b}{c}=19\cdot 97. \\
\end{align}\right.$
将 $d=-a$ 代入上式知，$a=58c$，$b=-1843c$，从而 $f\left( x\right)=\frac{58x-1843}{x-58}$，故 $f\left( x \right)$ 值域外的唯一数为58．
化简得 $\left( a+d\right)c{{x}^{2}}+\left( {{d}^{2}}-{{a}^{2}} \right)x-b\left( a+d \right)=0$．
从而 $a+d=0$，${{d}^{2}}-{{a}^{2}}=0$，故 $d=-a$．
又由题意，$19$，$97$ 是 $f\left( x\right)=x$，即 $\frac{ax+b}{cx+d}=x$ 的两根，从而19，97是 $c{{x}^{2}}+\left(d-a \right)x-b=0$ 的两根，故 $\left\{ \begin{align}
& \frac{a-d}{c}=116 \\
& -\frac{b}{c}=19\cdot 97. \\
\end{align}\right.$
将 $d=-a$ 代入上式知，$a=58c$，$b=-1843c$，从而 $f\left( x\right)=\frac{58x-1843}{x-58}$，故 $f\left( x \right)$ 值域外的唯一数为58．
答案
解析
备注
