重置
序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20381 5ca41478210b281080bfd86d 高中 解答题 自招竞赛 $\odot {{O}_{1}}\text{,}\odot {{O}_{2}}$ 相交于 $B,C$ 两点，且 $BC$ 是 $\odot {{O}_{1}}$ 的直径。过点 $C$ 作 $\odot {{O}_{1}}$ 的切线，交 $\odot {{O}_{2}}$ 于另一点 $E$，连结 $CE$ 并延长，交 $\odot {{O}_{2}}$ 于点 $F$ 。设点 $H$ 为线段 $AF$ 内的任意一点，连结 $HE$ 并延长，交 $\odot {{O}_{2}}$ 于点 $G$，连结 $BG$ 并延长，与 $AC$ 的延长线交于点 $D$ 。求证：$\frac{AH}{HF}=\frac{AC}{CD}$ 。 2022-04-17 19:17:59
20377 5ca41c56210b281080bfd8ae 高中 解答题 自招竞赛 已知 $D$ 是 $\Delta ABC$ 的边 $AB$ 上的任意一点，$E$ 是边 $AC$ 上的任意一点，连结 $DE$，$F$ 是线段 $DE$ 上的任意一点。设 $\frac{AD}{AB}=x\text{,}\frac{AE}{AC}=y\text{,}\frac{DF}{DE}=z$ 。证明：（1）$S\Delta BCF\text{=}\left( 1-x \right)yzS\Delta ABC$，$S\Delta CEF=x\left( 1-y \right)\left( 1-z \right)S\Delta ABC$；（2）$\sqrt[3]{S\Delta BDF}+\sqrt[3]{S\Delta CEF}\leqslant \sqrt[3]{S\Delta ABC}$ 2022-04-17 19:14:59
20375 5ca41c64210b28107f52aa43 高中 解答题 自招竞赛 如图，$ABCD$ 是圆内接四边形，$AC$ 是圆的直径，$BD\bot AC$，$AC$ 与 $BD$ 的交点为 $E$，$F$ 在 $DA$ 的延长线上。连结 $BF$，$G$ 在 $BA$ 的延长线上，使得 $DG\parallel BF$，$H$ 在 $BF$ 的延长线，$CH\bot GF$ 上。证明：$B,E,F,H$ 四点共圆。 2022-04-17 19:13:59
20373 5ca41c7f210b281080bfd8c9 高中 解答题 自招竞赛 设 $\Delta ABC$ 的三边长分别为 $AB=c\text{,}BC=a\text{,}CA\text{=}b$，$a\text{,}b\text{,}c$ 互不相等，$AD,BE,CF$ 分别为 $\Delta ABC$ 的三条内角分线，且 $DE=DF$ 。证明：（1）$\frac{a}{b+c}\text{=}\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$；（2）$\angle BAC\text{}{{90}^{{}^\circ }}$ 2022-04-17 19:11:59
20371 5ca41488210b28107f52aa0c 高中 解答题 自招竞赛 锐角 $\Delta ABC$ 的三条高分别为 $AD,BE,CF$ 。求证：$\Delta DEF$ 的周长不超过 $\Delta ABC$ 周长的一半。 2022-04-17 19:10:59
20370 5ca423d1210b281080bfd8ff 高中 解答题 自招竞赛 已知钝角 $\Delta ABC$ 的外接圆半径为 $1$ 。证明：存在一个斜边长为 $\sqrt{2}+1$ 的等腰直角三角形覆盖 $\Delta ABC$ 。 2022-04-17 19:09:59
20369 5ca423e1210b28107f52aa79 高中 解答题 自招竞赛 给定锐角 $\Delta ABC$，点 $O$ 为其外心，直线 $AO$ 交边 $BC$ 于点 $D$ 。动点 $E,F$ 分别位于边 $AB,AC$ 上，使得 $A,E,D,F$ 四点共圆。求证：线段 $EF$ 在边 $BC$ 上的投影长度为定值。 2022-04-17 19:09:59
20368 5ca4279e210b281080bfd919 高中 解答题 自招竞赛 如图，点 $P$ 在 $\Delta ABC$ 的外接圆上，直线 $CP,AB$ 相交于点 $E$，直线 $BP,AC$ 相交于点 $F$，边 $AC$ 的垂直平分线交边 $AB$ 于点 $J$，边 $AB$ 的垂直平分线交边 $AC$ 于点 $K$ 。求证：$\frac{C{{E}^{2}}}{B{{F}^{2}}}=\frac{AJ\cdot JE}{AK\cdot KF}$ 。 2022-04-17 19:09:59
20366 5ca42841210b28107f52aaa4 高中 解答题 自招竞赛 给定实数 $a\text{,}b\left( a>b>0 \right)$，将长为 $a$ 宽为 $b$ 的矩形放入一个正方形内（包含边界）。问正方形的边至少为多长？ 2022-04-17 19:07:59
20356 5ca56aa7210b28107f52aaf9 高中 解答题 自招竞赛 设凸四边形 $ABCD$ 的对角线交于点 $O$ 。 $\Delta OAD$ 和 $\Delta OBC$ 的外接圆交于点 $O$ 和 $M$，直线 $OM$ 分别交 $\Delta OAB$ 和 $\Delta OCD$ 的外接圆于点 $T$ 和 $S$ 。求证：$M$ 是线段 $TS$ 的中点。 2022-04-17 19:00:59
20353 5ca5a663210b28107f52ab59 高中 解答题 自招竞赛 设 $\Delta ABC$ 是锐角三角形，点 $D,E,F$ 分别在边 $BC,CA,AB$ 上，线段 $AD,BE,CF$ 经过 $\Delta ABC$ 的外心。已知以下六个比值 $\frac{BD}{DC},\frac{CE}{EA},\frac{AF}{FB},\frac{BF}{FA},\frac{AE}{EC},\frac{CD}{DB}$ 中至少有两个是整数。求证：$\Delta ABC$ 是等腰三角形。 2022-04-17 19:59:58
20351 5ca5a66c210b28107f52ab63 高中 解答题 自招竞赛 平面内 $n\left( n\geqslant 3 \right)$ 个点组成集合 $S$，$P$ 是此平面内条 $m$ 直线组成的集合，满足 $S$ 关于 $P$ 中的每一条直线对称。求证：$m\leqslant n$，并问等号何时成立？ 2022-04-17 19:58:58
20350 5ca5a671210b28107f52ab69 高中 解答题 自招竞赛 设 $D$ 是 $\Delta ABC$ 内的一点，满足 $\angle DAC\text{=}\angle DCA\text{=}{{30}^{{}^\circ }}$，$\angle DBA\text{=}{{60}^{{}^\circ }}$，$E$ 是边 $BC$ 的中点，$F$ 是边 $AC$ 的三等分点，满足 $AF=2FC$ 。求证：$DE\bot EF$ 。 2022-04-17 19:58:58
20324 5cac17a5210b2866bc014607 高中 解答题 自招竞赛 求最小常数 $a\left( a \right.$ > $\left. 1 \right)$，使得对正方形 $ABCD$ 内部任一点 $P$，都存在 $\Delta PAB$、$\Delta PBC$、$\Delta PCD$、$\Delta PDA$ 中的某两个三角形，其面积之比属于区间 $\left[ {{a}^{-1}}\text{,}a \right]$ 。 2022-04-17 19:42:58
20323 5cac17aa210b2866bc01460c 高中 解答题 自招竞赛 在凸四边形 $ABCD$ 的外部分别作正 $\Delta ABQ$、$\Delta BCR$、$\Delta CDS$、$\Delta DAP$ 。记四边形 $ABCD$ 的对角线的和为 $x$，四边形 $PQRS$ 的对边中点连线的和为 $y$ 。求 $\frac{y}{x}$ 的最大值。 2022-04-17 19:42:58
20322 5cac17b0210b2866bb0a6952 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知凸四边形 $ABCD$ 满足 $AB=BC$，$AD=DC$，$E$、$F$ 分别是线段 $AB$、$AD$ 上一点，满足 $B$、$E$、$F$、$D$ 四点共圆。作 $\Delta DPE$ 顺向相似于 $\Delta ADC$，作 $\Delta BQF$ 顺向相似于 $\Delta ABC$ 。求证：$A$、$P$、$Q$ 三点共线。 注：两个三角形顺向相似是指他们的对应顶点按顺时针方向或按逆时针方向排列。 2022-04-17 19:41:58
20320 5cac272b210b2866bc014641 高中 解答题 自招竞赛 如图，在 $\Delta ABC$ 中，$\angle BAC\text{=}{{90}^{{}^\circ }}$，点 $E$ 在 $\Delta ABC$ 的外接圆 $\Gamma $ 的弧 $BC$（不含点 $A$）内，$AE$ > $EC$ 。联结 $EC$ 并延长至点 $F$，使得 $\angle EAC=\angle CAF$，联结 $BF$ 交圆 $\Gamma $ 于点 $D$，联结 $ED$，记 $\Delta DEF$ 的外心为 $O$ 。求证：$A$、$C$、$O$ 三点共线。 2022-04-17 19:41:58
20317 5cac2755210b2866bc01464c 高中 解答题 自招竞赛 如图，圆 ${{\Gamma }_{1}}$、${{\Gamma }_{2}}$ 内切于点 $S$，圆 ${{\Gamma }_{2}}$ 的弦 $AB$ 与圆 ${{\Gamma }_{1}}$ 切于点 $C$，$M$ 是弧 $AB$（不含点 $S$）的中点，过点 $M$ 作 $MN\bot AB$，垂足为 $N$ 。记圆 ${{\Gamma }_{1}}$ 的半径为 $r$ 。求证：$AC\cdot CB=2r\cdot MN$ 2022-04-17 19:39:58
20313 5cac2d4d210b28193dc2e8eb 高中 解答题 自招竞赛 如图，在 $\Delta ABC$ 中，$AB=AC$，$D$ 是边 $BC$ 的中点，$E$ 是 $\Delta ABC$ 外一点，满足 $CE\bot AB$，$BE=BD$ 。过线段 $BE$ 的中点 $M$ 作直线 $MF\bot BE$，交 $\Delta ABD$ 的外接圆的劣弧 $AD$ 于点 $F$ 。求证：$ED\bot DF$ 。 2022-04-17 19:36:58
20309 5cac2d75210b281942e4f4d0 高中 解答题 自招竞赛 如图，在锐角 $\Delta ABC$ 中，$AB$ > $AC$，$M$ 是边 $BC$ 的中点，$\angle BAC$ 的外角平分线交直线 $BC$ 于点 $P$ 。点 $K$、$F$ 在直线 $PA$ 上，使得 $MF\bot BC$，$MK\bot PA$ 。求证：$B{{C}^{2}}=4PF\cdot AK$ 。 2022-04-17 19:34:58
0.188711s