重置
序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
7649 5967174f0303980008983d78 高中 填空题 高中习题 已知数列 $a_n=\dfrac{2^n}3$，$n\in\mathbb N^*$，$b_n=\left[a_n\right]$，其中 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分，则数列 $\{b_n\}$ 的前 $2n$ 项和为 ． 2022-04-16 21:50:52
7527 59e05d8ad474c0000788b46b 高中 填空题 高中习题 已知 $\triangle ABC$，若存在 $\triangle A_1B_1C_1$ 使得 $\dfrac{\cos A}{\sin A_1}=\dfrac{\cos B}{\sin B_1}=\dfrac{\cos C}{\sin C_1}=1$，则称 $\triangle A_1B_1C_1$ 是 $\triangle ABC$ 的一个“友好”三角形，若等腰三角形 $\triangle ABC$ 存在"友好"三角形，则其顶角的度数为  ． 2022-04-16 21:21:52
7422 59bb3ad477c760000832acab 高中 填空题 自招竞赛 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$，$E$ 为边 $BC$ 上的点，$AE$ 与一个半圆切于点 $F$，且半圆在正方形的内部，直径为 $CD$，则阴影部分的面积为 ． 2022-04-16 21:01:52
7330 59e81bd2c3f07000082a379f 高中 填空题 高中习题 已知函数 $f(x)=\left|x+\dfrac1x-ax-b\right|,a,b\in\mathbb R$，当 $x\in\left[\dfrac12,2\right]$ 时，设 $f(x)$ 的最大值为 $M$，则 $M$ 的最小值为 ． 2022-04-16 21:44:51
7325 59e85cf0c3f07000082a38f9 高中 填空题 高中习题 已知函数 $f(x)=mx^2+(2-m)x+n,m>0$，当 $-1\leqslant x\leqslant 1$ 时，$\left|f(x)\right|\leqslant 1$，则 $f\left(\dfrac 23\right)=$  ． 2022-04-16 21:43:51
7286 59ba35d398483e0009c7316a 高中 填空题 高中习题 设 $u,v,w,x_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）均为实数，若 $u\cdot x_n,v+|x_{n+1}|,w\cdot x_{n+2}$ 成等差数列（$n\in\mathbb N^{\ast}$），则称数列 $\{x_n\}$ 具有性质 $T(u,v,w)$，已知 $y_n\ne 0$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），且数列 $\{y_n\}$ 具有性质 $T(2,0,2)$，如果存在 $\theta\in\left(\dfrac{3\pi}2,2\pi\right)$ 使得 $y_1=\sin\theta$，$y_2=\cos\theta$，那么在数列 $\{y_n\}$ 的前 $2017$ 项中，值为负数的项的个数可能为 ． 2022-04-16 21:34:51
7229 59fad8ee03bdb1000a37cb1f 高中 填空题 自招竞赛 定义一种运算“$\otimes$”：$a\otimes b=a-\sqrt{ab}+b$（$a\geqslant 0,b\geqslant 0$），则函数 $f(x)={\log_3}(x\otimes 4)$ 的值域是 ． 2022-04-16 21:23:51
7221 59fad8ee03bdb1000a37cb2b 高中 填空题 自招竞赛 $(233)_{-4}$ 表示 $23$ 的负四进制，即 $2\times(-4)^2+3\times (-4)^1+3\times(-4)^0=(23)_{10}$，则将 $(2010)_{10}$ 表示成负八进制数应为 ． 2022-04-16 21:22:51
7179 59fa749c6ee16400083d26c7 高中 填空题 自招竞赛 正棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=1,AA_1=2$，点 $P$ 在 $BD_1$ 上，过点 $P$ 作平面 $BB_1D_1D$ 的垂线，与题设的正四棱柱的表面相交于 $M,N$ 两点，记 $BP=x,MN=y$，则 $x$ 与 $y$ 之间的函数式是 $y=f(x)=$  ，此函数的值域是 ． 2022-04-16 21:14:51
7160 5926927d8044a000098989e2 高中 填空题 高中习题 数列 $\left\{ {2^n} - 1\right\} $ 的前 $n$ 项 $1,3,7,\cdots,{2^n} - 1$ 组成集合 ${A_n} = \left\{ 1,3,7,\cdots,{2^n} - 1\right\}\left(n \in {{\mathbb{N}}^ * }\right)$，从集合 ${A_n}$ 中任取 $k$（$k = 1,2,3,\cdots,n$）个数，其所有可能的 $k$ 个数的乘积的和为 ${T_k}$（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记 ${S_n} = {T_1} + {T_2} + \cdots + {T_n}$．例如当 $n = 1$ 时，${A_1} = \left\{ 1\right\} $，${T_1} = 1$，${S_1} = 1$；当 $n = 2$ 时，${A_2} = \left\{ 1,3\right\} $，${T_1} = 1 + 3$，${T_2} = 1 \times 3$，${S_2} = 1 + 3 + 1 \times 3 = 7$．则当 $n = 3$ 时，${S_3} = $  ；试写出 ${S_n} = $  ． 2022-04-16 21:10:51
7158 592693538044a0000b68e22a 高中 填空题 高中习题 记实数 ${x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}$ 中的最大数为 $\max \left\{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\right\} $，最小数为 $\min \left\{ {x_1},{x_2}, \cdots,{x_n}\right\} $．设 $\triangle ABC$ 的三边边长分别为 $a$、$b$、$c$，且 $a \leqslant b \leqslant c$，定义 $\triangle ABC$ 的倾斜度为$$t = \max \left\{ \dfrac{a}{b},\dfrac{b}{c},\dfrac{c}{a}\right\} \cdot \min \left\{ \dfrac{a}{b},\dfrac{b}{c},\dfrac{c}{a}\right\} .$$$(1)$ 若 $\triangle ABC$ 为等腰三角形，则 $t = $  ．
$(2)$ 设 $a = 1$，则 $t$ 的取值范围是 ．		 2022-04-16 21:10:51
7143 59269b2a8044a0000a078ccb 高中 填空题 高中习题 已知正三棱柱 $ABC-A'B'C'$ 的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．设 $\triangle{ABC}$，$\triangle{A'B'C'}$ 的中心分别是 $O$，$O'$，现将此三棱柱绕直线 $OO'$ 旋转，射线 $OA$ 旋转所成的角为 $x$ 弧度（$x$ 可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为 $S(x)$，则函数 $S(x)$ 的最大值为 ；最小正周期为 ．说明：“三棱柱绕直线 $OO'$ 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，$OA$ 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，$OA$ 旋转所成的角为负角． 2022-04-16 21:07:51
7142 59269ca974a309000813f638 高中 填空题 高中习题 已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$，动点 $P$ 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 表面上运动，且 $PA=r$（$0<r<\sqrt 3$），记点 $P$ 的轨迹的长度为 $f(r)$，则 $f\left(\dfrac 12\right)$ = ；关于 $ r $ 的方程 $ f(r)=k$ 的解的个数可以为 ．（填上所有可能的值） 2022-04-16 21:07:51
7139 59278f2374a309000798cdd2 高中 填空题 自招竞赛 在平面直角坐标系中，定义点 $P\left( {{x_1},{y_1}} \right)$、$Q\left( {{x_2},{y_2}} \right)$ 之间的“直角距离”为 $d\left( {P,Q} \right) = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| + \left| {{y_1} - {y_2}} \right|$．若 $C\left( {x,y} \right)$ 到点 $A\left( {1,3} \right)$，$B\left( {6,9} \right)$ 的"直角距离"相等，其中实数 $x,y$ 满足 $0 \leqslant x \leqslant 10$，$0 \leqslant y \leqslant 10$，则所有满足条件点 $C$ 的轨迹的长度之和为  ． 2022-04-16 21:06:51
7138 59278f7174a309000798cdd6 高中 填空题 高中习题 在平面直角坐标系中，定义两点间的“折线距离”及点到曲线的“折线距离”如下：
① $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$ 两点之间的“折线距离”$||PQ||$ 为 $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$；
② 若 $P$ 为定点，$Q$ 为曲线 $C$ 的动点，且 $||PQ||$ 存在最小值，则称 $d$ 为点 $P$ 到曲线 $C$ 的“折线距离”．
已知 $O$ 为坐标原点，$A(2,3)$，$F_1(-1,0)$，$F_2(1,0))$．
$(1)$ $||AF_1||=$  ，若点 $M(x,y)$ 满足 $||MA||+||MF_1||=||AF_1||$，则点 $M$ 的轨迹的面积为  ；
$(2)$ 若点 $M(x,y)$ 满足 $||MA||=1$，则点 $M$ 的轨迹所围成的面积为  ；
$(3)$ 若点 $M(x,y)$ 满足 $||MF_1||+||MF_2||=4$，则点 $M$ 的轨迹的周长为  ；
$(4)$ 若点 $M(x,y)$ 满足 $||MF_1||-||MF_2||=1$，则原点 $O$ 到点 $M$ 的轨迹的“折线距离”为  ；
$(5)$ 设直线 $l:x=-1$，若动点 $M(x,y)$ 到直线 $l$ 的“折线距离”等于 $||MF_2||$，则点 $N(t,1)$ 到点 $M$ 的轨迹的“折线距离”为  ．		 2022-04-16 21:06:51
7089 5a041821e1d4630009e6d480 高中 填空题 自招竞赛 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的函数，$f(2)=2$，且对于任意的 $ x \in \mathbb R$ 都有 $f(x+9)\geqslant f(x)+9$ 和 $f(x+3)\leqslant f(x)+3$，则 $f(2009)=$  ． 2022-04-16 21:57:50
7085 5a041821e1d4630009e6d488 高中 填空题 自招竞赛 已知梯形 $ABCD$ 中，$AB=8$，$BC=4$，$CD=5$，$BC \perp AB$，$AB \parallel CD$，动点 $P$ 由 $B$ 点出发，沿 $BC \to CD \to DA$ 运动到 $A$ 点．若用 $x$ 表示点 $P$ 运动的路程，$f(x)$ 表示 $\triangle ABP$ 的面积，则 $f(x)=$  ． 2022-04-16 21:56:50
7037 5a03bb58e1d46300089a3453 高中 填空题 高中习题 已知函数 $f\left(x\right)$ 是定义在 ${\mathbb{R}}$ 上的不恒为零的函数，且对于任意实数 $a,b \in \mathbb{R} $，满足 $f\left(a\cdot b\right)=af\left(b\right)+bf\left(a\right)$，$f\left(2\right)=2$，$a_{n}=\dfrac {f\left(2^n\right)}n\left(n \in {\mathbb N}^{\ast}\right)$，$b_{n}=\dfrac {f\left(2^n\right)}{2^n}\left(n \in {\mathbb N}^{\ast}\right)$．考察下列结论：
① $f\left(0\right)=f\left(1\right)$；
② $f\left(x\right)$ 为偶函数；
③ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列；
④ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列．
其中正确的结论是 ．		 2022-04-16 21:48:50
7013 5a03d080e1d46300089a349b 高中 填空题 高中习题 任给实数 $a$，$b$，定义 $a \oplus b = {\begin{cases}
a \cdot b,&a \cdot b \geqslant 0, \\
\dfrac{a}{b},&a \cdot b < 0. \\
\end{cases}}$ 设函数 $f\left(x\right) = \ln x \oplus x$，则 $f\left(2\right) + f\left(\dfrac{1}{2}\right)=$  ；若 $\left\{ {a_n}\right\} $ 是公比大于 $0$ 的等比数列，且 ${a_5} = 1$，$f\left({a_1}\right) + f\left(a_2\right) + f\left(a_3\right) \cdots + f\left(a_7\right) + f\left({a_{ 8 }}\right) = {a_1}$，则 ${a_1} =$  ．		 2022-04-16 21:44:50
7011 5a03d150e1d46300089a34a9 高中 填空题 高中习题 在实数集 $ \mathbb R $ 中定义一种运算 $ "*" $，对任意 $ a $，$ b\in \mathbb R $，$ a*b $ 为唯一确定的实数，且具有性质：
$(1)$ 对任意 $ a\in \mathbb R $，$ a*0=a $；
$(2)$ 对任意 $ a $，$ b\in \mathbb R $，$ a*b=ab+{\left(a*0\right)}+{\left(b*0\right)} $．
关于函数 $ f{\left(x\right)}={\left(\mathrm e^x\right)}*\dfrac{1}{\mathrm e^x} $ 的性质，有如下说法：
① 函数 $ f{\left(x\right)} $ 的最小值为 $ 3 $；
② 函数 $ f{\left(x\right)} $ 为偶函数；
③ 函数 $ f{\left(x\right)} $ 的单调递增区间为 $ {\left(-\infty,0\right]} $．
其中所有正确说法的序号为 ．		 2022-04-16 21:43:50
0.234850s