任给实数 $a$，$b$，定义 $a \oplus b = {\begin{cases}
a \cdot b,&a \cdot b \geqslant 0, \\
\dfrac{a}{b},&a \cdot b < 0. \\
\end{cases}}$ 设函数 $f\left(x\right) = \ln x \oplus x$，则 $f\left(2\right) + f\left(\dfrac{1}{2}\right)=$ ；若 $\left\{ {a_n}\right\} $ 是公比大于 $0$ 的等比数列，且 ${a_5} = 1$，$f\left({a_1}\right) + f\left(a_2\right) + f\left(a_3\right) \cdots + f\left(a_7\right) + f\left({a_{ 8 }}\right) = {a_1}$，则 ${a_1} =$ ．
a \cdot b,&a \cdot b \geqslant 0, \\
\dfrac{a}{b},&a \cdot b < 0. \\
\end{cases}}$ 设函数 $f\left(x\right) = \ln x \oplus x$，则 $f\left(2\right) + f\left(\dfrac{1}{2}\right)=$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0$；${\mathrm{e}}$
【解析】
根据题意，可知$$f\left(x\right) = \ln x \oplus x=\begin{cases}x\ln x,&x\geqslant 1,\\\dfrac{\ln x}{x},&0<x<1,\end{cases}$$则$$f\left(2\right) + f\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\ln 2+\dfrac {\ln{\dfrac 12}}{\dfrac 12}=0.$$根据题意，有\[a_2\cdot a_8=a_3\cdot a_7=a_4\cdot a_6=a_5^2=1,\]于是\[f\left({a_1}\right) + f\left(a_2\right) + f\left(a_3\right) \cdots + f\left(a_7\right) + f\left({a_{ 8 }}\right)=f(a_1)=\begin{cases} \dfrac{\ln a_1}{a_1},&0<a_1\leqslant 1,\\ \ln a_1\cdot a_1 ,&a_1>1,\end{cases}\]而 $f(a_1)=a_1$，从而可得 $a_1={\rm e}$．
题目
答案
解析
备注
