已知函数 $f\left(x\right)$ 是定义在 ${\mathbb{R}}$ 上的不恒为零的函数，且对于任意实数 $a,b \in \mathbb{R} $，满足 $f\left(a\cdot b\right)=af\left(b\right)+bf\left(a\right)$，$f\left(2\right)=2$，$a_{n}=\dfrac {f\left(2^n\right)}n\left(n \in {\mathbb N}^{\ast}\right)$，$b_{n}=\dfrac {f\left(2^n\right)}{2^n}\left(n \in {\mathbb N}^{\ast}\right)$．考察下列结论：
① $f\left(0\right)=f\left(1\right)$；
② $f\left(x\right)$ 为偶函数；
③ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列；
④ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列．
其中正确的结论是 ．
① $f\left(0\right)=f\left(1\right)$；
② $f\left(x\right)$ 为偶函数；
③ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列；
④ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列．
其中正确的结论是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①③④
【解析】
在函数方程中，分别令 $a=b=0 $，$ a=b=1$，得$$f\left(0\right)=0,f\left(1\right)=0 .$$由\[f\left( { - 1 \cdot x} \right) = - f\left( x \right) + xf\left( { - 1} \right),\]得$$f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right),$$则 $ f\left(x\right)$ 为奇函数．
因为\[\begin{split}f\left( {2^n} \right) &= f\left( {2 \cdot {2^{n - 1}}} \right) \\&= 2f\left( {{2^{n - 1}}} \right) + {2^{n - 1}}f\left( 2 \right) \\&= 2f\left( {{2^{n - 1}}} \right) + {2^n} \\&= \cdots \\&= n \cdot {2^n},\end{split}\]所以 ${a_n} = {2^n},{b_n} = n$．
因为\[\begin{split}f\left( {2^n} \right) &= f\left( {2 \cdot {2^{n - 1}}} \right) \\&= 2f\left( {{2^{n - 1}}} \right) + {2^{n - 1}}f\left( 2 \right) \\&= 2f\left( {{2^{n - 1}}} \right) + {2^n} \\&= \cdots \\&= n \cdot {2^n},\end{split}\]所以 ${a_n} = {2^n},{b_n} = n$．
题目
答案
解析
备注
