已知数列 $a_n=\dfrac{2^n}3$，$n\in\mathbb N^*$，$b_n=\left[a_n\right]$，其中 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分，则数列 $\{b_n\}$ 的前 $2n$ 项和为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 23\left(4^n-1\right)-n,n\in\mathbb N^*$
【解析】
考虑到\[\begin{split}\left[\dfrac{2^n}3\right]&=\left[\dfrac{(3-1)^n}3\right]\\
&=\left[\dfrac{{\rm C}_n^03^n-{\rm C}_n^13^{n-1}+{\rm C}_n^23^{n-2}+\cdots+(-1)^n{\rm C}_n^n}3\right]\\
&={\rm C}_n^03^{n-1}-{\rm C}_n^13^{n-2}+{\rm C}_n^23^{n-3}+\cdots+\left[\dfrac{(-1)^n}3\right]\\
&=\begin{cases}\dfrac{2^n}3-\dfrac 23,& 2\nmid n,\\ \dfrac{2^n}3-\dfrac 13,& 2\mid n,\end{cases}\end{split}\]于是有\[b_{2n-1}+b_{2n}=a_{2n-1}+a_{2n}-1=\dfrac{4^n}2-1,\]因此所求的前 $2n$ 项和\[S_n=\dfrac 23\left(4^n-1\right)-n,n\in\mathbb N^*.\]
&=\left[\dfrac{{\rm C}_n^03^n-{\rm C}_n^13^{n-1}+{\rm C}_n^23^{n-2}+\cdots+(-1)^n{\rm C}_n^n}3\right]\\
&={\rm C}_n^03^{n-1}-{\rm C}_n^13^{n-2}+{\rm C}_n^23^{n-3}+\cdots+\left[\dfrac{(-1)^n}3\right]\\
&=\begin{cases}\dfrac{2^n}3-\dfrac 23,& 2\nmid n,\\ \dfrac{2^n}3-\dfrac 13,& 2\mid n,\end{cases}\end{split}\]于是有\[b_{2n-1}+b_{2n}=a_{2n-1}+a_{2n}-1=\dfrac{4^n}2-1,\]因此所求的前 $2n$ 项和\[S_n=\dfrac 23\left(4^n-1\right)-n,n\in\mathbb N^*.\]
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