数列 $\left\{ {2^n} - 1\right\} $ 的前 $n$ 项 $1,3,7,\cdots,{2^n} - 1$ 组成集合 ${A_n} = \left\{ 1,3,7,\cdots,{2^n} - 1\right\}\left(n \in {{\mathbb{N}}^ * }\right)$，从集合 ${A_n}$ 中任取 $k$（$k = 1,2,3,\cdots,n$）个数，其所有可能的 $k$ 个数的乘积的和为 ${T_k}$（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记 ${S_n} = {T_1} + {T_2} + \cdots + {T_n}$．例如当 $n = 1$ 时，${A_1} = \left\{ 1\right\} $，${T_1} = 1$，${S_1} = 1$；当 $n = 2$ 时，${A_2} = \left\{ 1,3\right\} $，${T_1} = 1 + 3$，${T_2} = 1 \times 3$，${S_2} = 1 + 3 + 1 \times 3 = 7$．则当 $n = 3$ 时，${S_3} = $ ；试写出 ${S_n} = $ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$63$；$2^{\frac {n(n+1)}{2}}-1$
【解析】
注意到\[\begin{split} S_3=&1+3+7+1\times 3+1\times 7+3\times 7+1\times 3\times 7 \\ =&S_2+7+1\times 7+3\times 7+1\times 3\times 7 \\ =&S_2+7+7(1+3+1\times 3),\end{split}\]对于一般情形，有$$S_{n+1}=S_n+2^{n+1}-1+(2^{n+1}-1)\cdot S_n=2^{n+1}\cdot S_n+2^{n+1}-1.$$于是 $\dfrac {S_{n+1}+1}{S_n+1}=2^{n+1}$，进而解得 $S_n=2^{\frac {n(n+1)}{2}}-1$．
题目
答案
解析
备注
