记实数 ${x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}$ 中的最大数为 $\max \left\{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\right\} $，最小数为 $\min \left\{ {x_1},{x_2}, \cdots,{x_n}\right\} $．设 $\triangle ABC$ 的三边边长分别为 $a$、$b$、$c$，且 $a \leqslant b \leqslant c$，定义 $\triangle ABC$ 的倾斜度为$$t = \max \left\{ \dfrac{a}{b},\dfrac{b}{c},\dfrac{c}{a}\right\} \cdot \min \left\{ \dfrac{a}{b},\dfrac{b}{c},\dfrac{c}{a}\right\} .$$$(1)$ 若 $\triangle ABC$ 为等腰三角形，则 $t = $ ．
$(2)$ 设 $a = 1$，则 $t$ 的取值范围是 ．
$(2)$ 设 $a = 1$，则 $t$ 的取值范围是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(1)$ $1$；$(2)$ $\left[1,\dfrac{\sqrt 5+1}{2}\right)$
【解析】
$(1)$ $t=\max\left\{1,\dfrac 1m,m\right\}\cdot \min\left\{1,\dfrac 1m,m\right\}=1$，其中 $m$ 随情况不同取 $\dfrac ab$ 或 $\dfrac bc$ 或 $\dfrac ca$；
$(2)$ 考虑到 $t=\max\left\{\dfrac 1b,\dfrac bc,c\right\}\cdot \min\left\{\dfrac 1b,\dfrac bc,c\right\}$，而 $1\leqslant b\leqslant c$，于是 $\dfrac 1b,\dfrac bc \leqslant 1\leqslant c$，
因此 $\max\left\{\dfrac 1b,\dfrac bc ,c\right\}=c$．
情形一 $\dfrac 1b \leqslant \dfrac bc$ 即 $b\geqslant \sqrt c$ 时，
此时约束条件为 $\begin{cases}b\geqslant \sqrt c,\\ 1\leqslant b\leqslant c,\\ 1+b>c\end{cases}$，目标函数为 $t=\dfrac cb$，如左图，$t$ 的取值范围为 $\left[1,\dfrac{\sqrt 5+1}{2}\right)$．
情形二 $\dfrac 1b>\dfrac bc$ 即 $b<\sqrt c$ 时，
此时约束条件为 $\begin{cases}b<\sqrt c,\\ 1\leqslant b\leqslant c,\\ 1+b>c\end{cases}$，目标函数为 $t=b$，如右图，$t$ 的取值范围为 $\left[1,\dfrac{\sqrt 5+1}{2}\right)$．
综上，$t$ 的取值范围是 $\left[1,\dfrac{\sqrt 5+1}{2}\right)$．
$(2)$ 考虑到 $t=\max\left\{\dfrac 1b,\dfrac bc,c\right\}\cdot \min\left\{\dfrac 1b,\dfrac bc,c\right\}$，而 $1\leqslant b\leqslant c$，于是 $\dfrac 1b,\dfrac bc \leqslant 1\leqslant c$，
因此 $\max\left\{\dfrac 1b,\dfrac bc ,c\right\}=c$．
此时约束条件为 $\begin{cases}b\geqslant \sqrt c,\\ 1\leqslant b\leqslant c,\\ 1+b>c\end{cases}$，目标函数为 $t=\dfrac cb$，如左图，$t$ 的取值范围为 $\left[1,\dfrac{\sqrt 5+1}{2}\right)$．
此时约束条件为 $\begin{cases}b<\sqrt c,\\ 1\leqslant b\leqslant c,\\ 1+b>c\end{cases}$，目标函数为 $t=b$，如右图，$t$ 的取值范围为 $\left[1,\dfrac{\sqrt 5+1}{2}\right)$．
综上，$t$ 的取值范围是 $\left[1,\dfrac{\sqrt 5+1}{2}\right)$．
题目
答案
解析
备注
