已知函数 $f(x)=\left|x+\dfrac1x-ax-b\right|,a,b\in\mathbb R$，当 $x\in\left[\dfrac12,2\right]$ 时，设 $f(x)$ 的最大值为 $M$，则 $M$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac14$
【解析】
考虑函数 $y=x+\dfrac 1x$ 图象上两点 $A\left(\dfrac 12,\dfrac 52\right)$，$B\left(2,\dfrac 52\right)$，与割线 $AB$ 平行的切线为 $y=2$，切点横坐标为 $1$，因此考虑用 $\dfrac 12,1,2$ 处的函数值进行放缩．
根据题意有$$\begin{cases}
M\geqslant f\left(1\right)=\left| 2-a-b\right|,\\
M\geqslant f\left(\dfrac12\right)=\left|\dfrac52-\dfrac a2-b\right|,\\
M\geqslant f\left(2\right)=\left| \dfrac52-2a-b\right|,
\end{cases}$$则$$6M\geqslant3\left| 2-a-b\right|+2\left|\dfrac52-\dfrac a2-b\right|+\left| \dfrac52-2a-b\right|\geqslant\dfrac32.$$因此当 $(a,b)=\left(0,\dfrac94\right)$ 时 $M$ 取得最小值 $\dfrac14$．
根据题意有$$\begin{cases}
M\geqslant f\left(1\right)=\left| 2-a-b\right|,\\
M\geqslant f\left(\dfrac12\right)=\left|\dfrac52-\dfrac a2-b\right|,\\
M\geqslant f\left(2\right)=\left| \dfrac52-2a-b\right|,
\end{cases}$$则$$6M\geqslant3\left| 2-a-b\right|+2\left|\dfrac52-\dfrac a2-b\right|+\left| \dfrac52-2a-b\right|\geqslant\dfrac32.$$因此当 $(a,b)=\left(0,\dfrac94\right)$ 时 $M$ 取得最小值 $\dfrac14$．
题目
答案
解析
备注
