已知 $\triangle ABC$，若存在 $\triangle A_1B_1C_1$ 使得 $\dfrac{\cos A}{\sin A_1}=\dfrac{\cos B}{\sin B_1}=\dfrac{\cos C}{\sin C_1}=1$，则称 $\triangle A_1B_1C_1$ 是 $\triangle ABC$ 的一个“友好”三角形，若等腰三角形 $\triangle ABC$ 存在"友好"三角形，则其顶角的度数为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\pi}4$
【解析】
根据题意，有\[\cos A=\cos\left(\dfrac{\pi}2-A_1\right),\]于是\[\left(A=\dfrac{\pi}2-A_1\right)\lor\left(A=A_1-\dfrac{\pi}2\right),\]也即\[\left(A_1=\dfrac{\pi}2-A\right)\lor\left(A_1=\dfrac{\pi}2+A\right).\]同理，亦有\[\left(B_1=\dfrac{\pi}2-B\right)\lor\left(B_1=\dfrac{\pi}2+B\right),\]以及\[\left(C_1=\dfrac{\pi}2-C\right)\lor\left(C_1=\dfrac{\pi}2+C\right).\]对于等腰三角形，不妨设其顶角为 $C$，则必然有\[\left(A_1=\dfrac{\pi}2-A\right)\land \left(B_1=\dfrac{\pi}2-B\right),\]否则\[A_1+B_1\geqslant \pi,\]不符合题意．继而有\[C_1=\dfrac{\pi}2+C,\]因此\[A_1+B_1+C_1=\dfrac{3\pi}2-A-B+C,\]也即\[\pi=\dfrac{3\pi}2-(\pi -C)+C,\]解得 $C=\dfrac{\pi}4$．
题目
答案
解析
备注
