已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$，动点 $P$ 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 表面上运动，且 $PA=r$（$0<r<\sqrt 3$），记点 $P$ 的轨迹的长度为 $f(r)$，则 $f\left(\dfrac 12\right)$ = ；关于 $ r $ 的方程 $ f(r)=k$ 的解的个数可以为 ．（填上所有可能的值）
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 34{\pi}$；$0,2,3,4$
【解析】
如图．
稍加探索可发现需要在 $r=1$，$r=\sqrt 2$ 处分段．其中$$f\left(\dfrac 12\right)=3\cdot \dfrac {\pi}{2}\cdot \dfrac 12=\dfrac 34 \pi.$$可以勾勒函数草图（关键是 $1<r<\sqrt 2$ 一段图象的变化，可以转化参数证明先减后增）
如图，设参数 $\theta$（$0<\theta<\dfrac{\pi}{4}$），则弧长之和$$\begin{split}h(\theta)&=\dfrac{1}{\cos{\theta}}\cdot\left(\dfrac{\pi}{2}-2\theta\right)+\dfrac{\pi}{2}\cdot \tan{\theta}\\ &=\dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{\sin \theta -\dfrac {4}{\pi}\theta+1}{\cos{\theta}} ,\end{split}$$于是$$h'(\theta)=\dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{1+\sin \theta -\dfrac{4}{\pi}(\cos \theta +\theta \cdot \sin \theta)}{\cos ^2 \theta}.$$考虑$$r(\theta)=1+\sin \theta -\dfrac {4}{\pi}(\cos \theta +\theta \cdot \sin \theta),$$因为$$\begin{cases}r(0)=1-\dfrac{\pi}{4}<0,\\r\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1-\dfrac {4}{\pi}\cdot \dfrac{\sqrt 2}{2}>0,
\\r'(\theta )=\cos \theta \left(1-\dfrac{4}{\pi}\theta\right)>0,\end{cases}$$因此 $r(\theta)$ 在 $\left(0,\dfrac {\pi}{4}\right)$ 上先负后正，从而 $h
(\theta)$ 在 $\left(0,\dfrac {\pi}{4}\right)$ 上先减后增．
稍加探索可发现需要在 $r=1$，$r=\sqrt 2$ 处分段．其中$$f\left(\dfrac 12\right)=3\cdot \dfrac {\pi}{2}\cdot \dfrac 12=\dfrac 34 \pi.$$可以勾勒函数草图（关键是 $1<r<\sqrt 2$ 一段图象的变化，可以转化参数证明先减后增）如图，设参数 $\theta$（$0<\theta<\dfrac{\pi}{4}$），则弧长之和$$\begin{split}h(\theta)&=\dfrac{1}{\cos{\theta}}\cdot\left(\dfrac{\pi}{2}-2\theta\right)+\dfrac{\pi}{2}\cdot \tan{\theta}\\ &=\dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{\sin \theta -\dfrac {4}{\pi}\theta+1}{\cos{\theta}} ,\end{split}$$于是$$h'(\theta)=\dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{1+\sin \theta -\dfrac{4}{\pi}(\cos \theta +\theta \cdot \sin \theta)}{\cos ^2 \theta}.$$考虑$$r(\theta)=1+\sin \theta -\dfrac {4}{\pi}(\cos \theta +\theta \cdot \sin \theta),$$因为$$\begin{cases}r(0)=1-\dfrac{\pi}{4}<0,\\r\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1-\dfrac {4}{\pi}\cdot \dfrac{\sqrt 2}{2}>0,\\r'(\theta )=\cos \theta \left(1-\dfrac{4}{\pi}\theta\right)>0,\end{cases}$$因此 $r(\theta)$ 在 $\left(0,\dfrac {\pi}{4}\right)$ 上先负后正，从而 $h
(\theta)$ 在 $\left(0,\dfrac {\pi}{4}\right)$ 上先减后增．
题目
答案
解析
备注
