在实数集 $ \mathbb R $ 中定义一种运算 $ "*" $，对任意 $ a $，$ b\in \mathbb R $，$ a*b $ 为唯一确定的实数，且具有性质：
$(1)$ 对任意 $ a\in \mathbb R $，$ a*0=a $；
$(2)$ 对任意 $ a $，$ b\in \mathbb R $，$ a*b=ab+{\left(a*0\right)}+{\left(b*0\right)} $．
关于函数 $ f{\left(x\right)}={\left(\mathrm e^x\right)}*\dfrac{1}{\mathrm e^x} $ 的性质，有如下说法：
① 函数 $ f{\left(x\right)} $ 的最小值为 $ 3 $；
② 函数 $ f{\left(x\right)} $ 为偶函数；
③ 函数 $ f{\left(x\right)} $ 的单调递增区间为 $ {\left(-\infty,0\right]} $．
其中所有正确说法的序号为 ．
$(1)$ 对任意 $ a\in \mathbb R $，$ a*0=a $；
$(2)$ 对任意 $ a $，$ b\in \mathbb R $，$ a*b=ab+{\left(a*0\right)}+{\left(b*0\right)} $．
关于函数 $ f{\left(x\right)}={\left(\mathrm e^x\right)}*\dfrac{1}{\mathrm e^x} $ 的性质，有如下说法：
① 函数 $ f{\left(x\right)} $ 的最小值为 $ 3 $；
② 函数 $ f{\left(x\right)} $ 为偶函数；
③ 函数 $ f{\left(x\right)} $ 的单调递增区间为 $ {\left(-\infty,0\right]} $．
其中所有正确说法的序号为
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①②
【解析】
根据题中条件得出，函数$$ f{\left(x\right)}={\left(\mathrm e^x\right)}*\dfrac{1}{\mathrm e^x}=1+{\mathrm {e}}^x+\dfrac{1}{\mathrm e^x} ,$$因为 $ \mathrm e^x+\dfrac{1}{\mathrm e^x}\geqslant 2 $（$ x=0 $ 时等号成立），所以函数 $ f{\left(x\right)} $ 的最小值为 $ 3 $，故 ① 正确；
因为$$ f{\left(-x\right)}=1+\mathrm e^{-x}+\dfrac{1}{\mathrm e^{-x}}=1+\mathrm e^x+\dfrac{1}{\mathrm e^x}=f{\left(x\right)} ,$$所以函数 $ f{\left(x\right)} $ 为偶函数，故 ② 正确；
运用复合函数的单调性判断函数 $ f{\left(x\right)} $ 的单调递增区间为 $ {\left(0,+\infty\right)} $．故 ③ 不正确．
因为$$ f{\left(-x\right)}=1+\mathrm e^{-x}+\dfrac{1}{\mathrm e^{-x}}=1+\mathrm e^x+\dfrac{1}{\mathrm e^x}=f{\left(x\right)} ,$$所以函数 $ f{\left(x\right)} $ 为偶函数，故 ② 正确；
运用复合函数的单调性判断函数 $ f{\left(x\right)} $ 的单调递增区间为 $ {\left(0,+\infty\right)} $．故 ③ 不正确．
题目
答案
解析
备注
