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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
7752 5925275482e8bd0008dcc126 高中 填空题 高中习题 从数字 $1,2,3,4,5$ 中任意取 $4$ 个组成四位数，则这些四位数的平均数是 ． 2022-04-16 21:42:53
7746 59266e8bee79c2000a59dc07 高中 填空题 高中习题 在实数集 $ {\mathbb{R}} $ 中定义一种运算“$ * $”，具有下列性质：
① 对任意 $a ,b\in {\mathbb{R}} $，$a *b=b* a$；
② 对任意 $a \in {\mathbb{R}}$，$a *0= a$；
③ 对任意 $a ,b,c\in {\mathbb{R}}$，$\left( a *b\right)*c=c*\left( a b\right)+\left( a *c\right)+\left(b*c\right)-2c$．
则 $ 0*2= $  ；函数 $f\left(x\right) = x* \dfrac{1}{x}\left(x>0\right)$ 的最小值为 ．		 2022-04-16 21:39:53
7745 59266f66ee79c2000759a9af 高中 填空题 高中习题 对于任意两个正整数，定义运算（用 $ \oplus $ 表示运算符号）：
① 当 $m$，$n$ 都是正偶数或都是正奇数时，$m \oplus n = m + n$；
② 当 $m$，$n$ 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，$m \oplus n = m \times n$．
例如 $4 \oplus 6 = 4 + 6 = 10$，$3 \oplus 7 = 3 + 7 = 10$，$3 \oplus 4 = 3 \times 4 = 12$．
在上述定义中，集合 $M = \left\{ {\left( {a,b} \right)} \right. \mid a \left. { \oplus b = 12,a,b \in {{\mathbb{N}}^*}} \right\}$ 的元素有  个．		 2022-04-16 21:38:53
7743 5926700eee79c2000759a9b3 高中 填空题 高中习题 给定集合 $A$，若对于任意 $ a,b \in A$，有 $ a+b \in A$，且 $ a-b \in A$，则称集合 $A$ 为闭集合，给出如下四个结论：
① 集合 $A=\{-4,-2,0,2,4\}$ 为闭集合；
② 集合 $A=\{n\mid n=3k, k \in \mathbb Z\}$ 为闭集合；
③ 若集合 $A_1,A_2$ 为闭集合，则 $A_1 \cup A_2$ 为闭集合；
④ 若集合 $A_1,A_2$ 为闭集合，且 $A_1$、$A_2$ 均为 $ \mathbb R$ 的真子集，则存在 $c\in \mathbb R$，使得 $c \not \in \left( A_1 \cup A_2\right) $．
其中正确结论的序号是 ．		 2022-04-16 21:37:53
7742 5926718dee79c2000759a9b8 高中 填空题 高中习题 已知数集 $ X=\left\{x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n} \right\} $（其中 $x_i>0$，$i=1,2,\cdots,n$，$n \geqslant 3$），若对任意的 $x_k \in X$（$k=1,2,\cdots,n$），都存在 $x_i,x_j \in X$（$x_i \neq x_j$），使得下列三组向量中恰有一组共线：
① 向量 $(x_i,x_k)$ 与向量 $(x_k,x_j)$；
② 向量 $(x_i,x_j)$ 与向量 $(x_j,x_k)$；
③ 向量 $(x_k,x_i)$ 与向量 $(x_i,x_j)$，
则称 $X$ 具有性质 $P$．例如 $\{1,2,4\}$ 具有性质 $P$．
若 $\{1,3,x\}$ 具有性质 $P$，则 $x$ 的取值为 ；若数集 $\{1,3,x_1,x_2\}$ 具有性质 $P$，则 $x_1+x_2$ 的最大值与最小值之积为 ．		 2022-04-16 21:36:53
7741 59267239ee79c2000a59dc14 高中 填空题 高中习题 定义映射 $f:A\mapsto B$，其中 $A=\left\{\left(m,n\right) \mid m,n\in \mathbb R\right\}$，$B=\mathbb R$，已知对所有的有序正整数对 $\left(m,n\right)$ 满足下述条件：
① $f\left(m,1\right)=1$；
② 若 $n>m$，$f\left(m,n\right)=0$；
③ $f\left(m+1,n\right)=n\left[f\left(m,n\right)+f\left(m,n-1\right)\right]$，
则 $f\left(2,2\right)=$  ，$f\left(n,2\right)=$  ．		 2022-04-16 21:36:53
7740 592672daee79c20009339812 高中 填空题 高中习题 设 $V$ 是已知平面 $M$ 上所有向量的集合，对于映射 $f:V \mapsto V,{\bf a} \in V$，记 ${\bf a} $ 的象为 $f\left( {{\bf a} } \right)$．若映射 $f:V \mapsto V$ 满足：对所有 ${\bf a} ,{\bf b} \in V$ 及任意实数 $\lambda,\mu $ 都有 $f\left( {\lambda {\bf a} + \mu {\bf b} } \right) = \lambda f\left( {{\bf a} } \right) + \mu f\left( {{\bf b} } \right)$，则 $f$ 称为平面 $M$ 上的线性变换．现有下列命题：
① 设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，则 $f\left( {\bf 0 } \right) = \bf 0 $；
② 对 ${\bf a} \in V$，设 $f\left( {{\bf a} } \right) = 2{\bf a} $，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换；
③ 若 ${\bf e} $ 是平面 $M$ 上的单位向量，对 ${\bf a} \in V$，设 $f\left( {{\bf a} } \right) = {\bf a} - {\bf e} $，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换；
④ 设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，${\bf a} $，${\bf b} \in V$，若 ${\bf a} $，${\bf b} $ 共线，则 $f\left( {{\bf a} } \right)$，$f\left( {{\bf b} } \right)$ 也共线．
其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）		 2022-04-16 21:35:53
7739 5926734bee79c2000874a11e 高中 填空题 高考真题 设 $V$ 是全体平面向量构成的集合，若映射 $f:V \to {\mathbb{R}}$ 满足：对任意向量 ${\bf a} = \left({x_1},{y_1}\right) \in V,$ ${\bf b} = \left({x_2},{y_2}\right) \in V$，以及任意 $\lambda \in {\mathbb{R}}$，均有 $f\left(\lambda {\bf a} + \left(1 - \lambda \right){\bf b} \right) = \lambda f\left({\bf a} \right) + \left(1 - \lambda \right)f\left({\bf b} \right)$，则称映射 $f$ 具有性质 $P$．现给出如下映射：
① ${f_1}:V \mapsto {\mathbb{R}},{f_1}\left({\bf m} \right) = x - y,{\bf m} = \left(x,y\right) \in V$；
② ${f_2}:V \mapsto {\mathbb{R}}, {f_2}\left({\bf m} \right) = {x^2} + y,{\bf m} = \left(x,y\right) \in V$；
③ ${f_3}:V \mapsto {\mathbb{R}}, {f_3}\left({\bf m} \right) = x + y + 1,{\bf m} = \left(x,y\right) \in V$．
其中，具有性质 $P$ 的映射的序号为  ．（写出所有具有性质 $P$ 的映射的序号）		 2022-04-16 21:35:53
7738 5926738cee79c2000a59dc18 高中 填空题 高中习题 已知函数 $f\left( x \right)$ 由下表给出\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x&0&1&2&3&4 \\ \hline f\left(x\right)&a_0&a_1&a_2&a_3&a_4 \\ \hline \end{array}\]其中 ${a_k}\left( {k = 0,1,2,3,4} \right)$ 等于在 ${a_0},{a_1},{a_2},{a_3},{a_4}$ 中 $k$ 所出现的次数．则 ${a_4} = $  ；${a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} = $  ． 2022-04-16 21:35:53
7734 592678d6ee79c2000874a12a 高中 填空题 高中习题 函数 $f\left( x \right)$ 的定义域为 $A$，若 ${x_1} , {x_2} \in A$ 且 $f\left( {x_1} \right) = f\left( {x_2} \right)$ 时总有 ${x_1} = {x_2}$，则称 $f\left( x \right)$ 为单函数．例如，函数 $f\left( x \right) = 2x + 1\left( {x \in {\mathbb{R}}} \right)$ 是单函数．下列命题：
① 函数 $f\left( x \right) = {x^2}\left( {x \in {\mathbb{R}}} \right)$ 是单函数；
② 若 $f\left( x \right)$ 为单函数，${x_1} , {x_2} \in A$ 且 ${x_1} \ne {x_2}$，则 $f\left( {x_1} \right) \ne f\left( {x_2} \right)$；
③ 若 $f:A$ $ \to $ $B$ 为单函数，则对于任意 $b \in B$，它至多有一个原象；
④ 函数 $f\left( x \right)$ 在某区间上具有单调性，则 $f\left( x \right)$ 一定是单函数．
其中的真命题是  ．（写出所有真命题的编号）		 2022-04-16 21:33:53
7733 59267900ee79c2000874a12d 高中 填空题 高中习题 定义方程 $f(x)=f'(x)$ 的实数根 $x_0$ 叫做函数 $f(x)$ 的“新驻点”，如果函数 $g(x)=x$，$h(x)=\ln {(x+1)}$，$\varphi (x)=\cos x$（$x\in \left(\dfrac {\pi}{2},\pi\right)$）的“新驻点”分别为 $\alpha,\beta,\gamma$，那么 $\alpha,\beta,\gamma$ 的大小关系是  ． 2022-04-16 21:33:53
7732 59267971ee79c20009339828 高中 填空题 高中习题 定义在区间 $\left[ {a , b} \right]$ 上的连续函数 $y = f\left( x \right)$，如果 $\exists \xi \in \left[ {a , b} \right]$，使得 $f\left( b \right) - f\left( a \right) = f'\left( \xi \right)\left( {b - a} \right)$，则称 $\xi $ 为区间 $\left[ {a ,b} \right]$ 上的“中值点”．下列函数：
① $f\left( x \right) = 3x + 2$；
② $f\left( x \right) = {x^2} - x + 1$；
③ $f\left( x \right) = \ln \left( {x + 1} \right)$；
④ $f\left( x \right) = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^3}$ 中，在区间 $\left[ {0 ,1} \right]$ 上“中值点”多于一个的函数序号为  ．（写出所有满足条件的函数的序号）		 2022-04-16 21:32:53
7730 59267a97ee79c2000874a137 高中 填空题 高中习题 设函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $D$，若存在非零实数 $l$ 使得对于任意 $x \in M\left(M \subseteq D\right)$，有 $x + l \in D$，且 $f\left(x + l\right) \geqslant f\left(x\right)$，则称 $f\left(x\right)$ 为 $M$ 上的 $l$ 高调函数．
$(1)$ 如果定义域为 $\left[ - 1, + \infty \right)$ 的函数 $f\left(x\right) = {x^2}$ 为 $\left[ - 1, + \infty \right)$ 上的 $m$ 高调函数，那么实数 $m$ 的取值范围是  ．
$(2)$ 如果定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $f\left(x\right)$ 是奇函数，当 $x \geqslant 0$ 时，$f\left(x\right) = |x - {a^2}| - {a^2}$，且 $f\left(x\right)$ 为 $\mathbb R$ 上的 $4$ 高调函数，那么实数 $a$ 的取值范围是  ．		 2022-04-16 21:30:53
7727 59267ce8ee79c2000a59dc36 高中 填空题 高考真题 已知函数 $f\left(x\right)$ 满足：$f\left(1\right) = \dfrac{1}{4}$，$4f\left(x\right)f\left(y\right) = f\left(x + y\right) + f\left(x - y\right)\left(x,y \in {\mathbb{R}}\right)$，则 $f\left(2010\right) = $  ． 2022-04-16 21:28:53
7709 59268e388044a0000a078c9a 高中 填空题 高考真题 若数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 满足：对任意的 $n \in {{\mathbb{N}}^ * }$，只有有限个正整数 $m$ 使得 ${a_m}<n$ 成立，记这样的 $m$ 的个数为 ${\left({a_n}\right)^ * }$，则得到一个新数列 $\left\{ {{{\left({a_n}\right)}^ * }} \right\}$．例如，若数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是 $1,2,3, \cdots ,n, \cdots $，则数列 $\left\{ {{{\left({a_n}\right)}^ * }} \right\}$ 是 $0,1,2, \cdots ,n - 1, \cdots $．已知对任意的 $n \in {{\mathbb{N}}^ * }$，${a_n} = {n^2}$，则 ${\left({a_5}\right)^ * } = $  ，${\left({\left({a_n}\right)^ * }\right)^ * } = $  ． 2022-04-16 21:20:53
7708 592690438044a000098989cc 高中 填空题 高中习题 试写出数列 $1,0,3,0,5,0,7,0,\cdots $ 的一个通项公式： ． 2022-04-16 21:19:53
7706 592691218044a0000a078ca4 高中 填空题 高中习题 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若 ${a_n} = {a^n}$ $\left(a \ne 0\right)$，则位于第 $ 10 $ 行的第 $ 8 $ 列的项等于  ；${a_{2013}}$ 在图中位于  ．（填第几行的第几列）$$\begin{array}{ccccccc}&&&a_1&&&\\ &&a_2&a_3&a_4&& \\ &a_5&a_6&a_7&a_8&a_9&\\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ \end{array}$$ 2022-04-16 21:18:53
7705 592691598044a0000a078ca9 高中 填空题 高中习题 观察下列算式：
$1^3=1$，
$2^3=3+5$，
$3^3=7+9+11$，
$4^3=13+15+17+19$，
$\cdots \cdots \cdots$
若某数 $n^3$ 按上述规律展开后，发现等式右边含有“$2013$”这个数，则 $n=$  ．		 2022-04-16 21:18:53
7664 59c9c215778d4700085f6dae 高中 填空题 高中习题 $(1+x+x^2+\cdots+x^{100})^3$ 的展开式中包含 $x^{150}$ 的项的系数为 ． 2022-04-16 21:57:52
7650 595c90916e0c65000a2cfa68 高中 填空题 高中习题 已知数列 $a_n=\dfrac{2^n}3$，$n\in\mathbb N^*$，$b_n=\left[a_n\right]$，其中 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分，则数列 $\{b_n\}$ 的前 $2n$ 项和为 ． 2022-04-16 21:50:52
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