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设 $V$ 是已知平面 $M$ 上所有向量的集合，对于映射 $f:V \mapsto V,{\bf a} \in V$，记 ${\bf a} $ 的象为 $f\left( {{\bf a} } \right)$．若映射 $f:V \mapsto V$ 满足：对所有 ${\bf a} ,{\bf b} \in V$ 及任意实数 $\lambda,\mu $ 都有 $f\left( {\lambda {\bf a} + \mu {\bf b} } \right) = \lambda f\left( {{\bf a} } \right) + \mu f\left( {{\bf b} } \right)$，则 $f$ 称为平面 $M$ 上的线性变换．现有下列命题：
① 设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，则 $f\left( {\bf 0 } \right) = \bf 0 $；
② 对 ${\bf a} \in V$，设 $f\left( {{\bf a} } \right) = 2{\bf a} $，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换；
③ 若 ${\bf e} $ 是平面 $M$ 上的单位向量，对 ${\bf a} \in V$，设 $f\left( {{\bf a} } \right) = {\bf a} - {\bf e} $，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换；
④ 设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，${\bf a} $，${\bf b} \in V$，若 ${\bf a} $，${\bf b} $ 共线，则 $f\left( {{\bf a} } \right)$，$f\left( {{\bf b} } \right)$ 也共线．
其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    信息迁移
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的线性运算
  • 知识点
    >
    函数
    >
    集合与映射
    >
    映射
【答案】
①②④
【解析】
理解线性变换后，
对于 ①，取 $\lambda =\mu =0$ 即得；
对于 ②，容易验证 $f$ 符合线性变换的定义；
对于 ③，容易验证 $f$ 不符合线性变换的定义；
对于 ④，因为 $ {\bf a} $ 与 $ {\bf b} $ 共线，所以 $ {\bf a} =\lambda {\bf b} $，所以$$ f\left(\bf 0\right)=f\left({\bf a} -\lambda {\bf b} \right)=f\left({\bf a} \right)-\lambda f\left({\bf b} \right)=\bf 0, $$所以 $ f\left({\bf a} \right)=\lambda f\left({\bf b} \right) $，所以 $ f\left({\bf a} \right)$，$f\left({\bf b} \right) $ 共线．
因此填 ①②④．
题目 答案 解析 备注
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