设 $V$ 是全体平面向量构成的集合，若映射 $f:V \to {\mathbb{R}}$ 满足：对任意向量 ${\bf a} = \left({x_1},{y_1}\right) \in V,$ ${\bf b} = \left({x_2},{y_2}\right) \in V$，以及任意 $\lambda \in {\mathbb{R}}$，均有 $f\left(\lambda {\bf a} + \left(1 - \lambda \right){\bf b} \right) = \lambda f\left({\bf a} \right) + \left(1 - \lambda \right)f\left({\bf b} \right)$，则称映射 $f$ 具有性质 $P$．现给出如下映射：
① ${f_1}:V \mapsto {\mathbb{R}},{f_1}\left({\bf m} \right) = x - y,{\bf m} = \left(x,y\right) \in V$；
② ${f_2}:V \mapsto {\mathbb{R}}, {f_2}\left({\bf m} \right) = {x^2} + y,{\bf m} = \left(x,y\right) \in V$；
③ ${f_3}:V \mapsto {\mathbb{R}}, {f_3}\left({\bf m} \right) = x + y + 1,{\bf m} = \left(x,y\right) \in V$．
其中，具有性质 $P$ 的映射的序号为 ．（写出所有具有性质 $P$ 的映射的序号）
① ${f_1}:V \mapsto {\mathbb{R}},{f_1}\left({\bf m} \right) = x - y,{\bf m} = \left(x,y\right) \in V$；
② ${f_2}:V \mapsto {\mathbb{R}}, {f_2}\left({\bf m} \right) = {x^2} + y,{\bf m} = \left(x,y\right) \in V$；
③ ${f_3}:V \mapsto {\mathbb{R}}, {f_3}\left({\bf m} \right) = x + y + 1,{\bf m} = \left(x,y\right) \in V$．
其中，具有性质 $P$ 的映射的序号为
【难度】
【出处】
2011年高考福建卷（理）
【标注】
【答案】
①③
【解析】
根据性质 $P$ 的描述，$$f\left(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2,\lambda y_1 + \left(1 - \lambda \right)y_2 \right) = \lambda f\left(x_1,y_1 \right) + \left(1 - \lambda \right)f\left(x_2,y_2 \right).$$这就意味着如果我们固定向量 ${\bf m} =(x,y)$ 的横坐标，那么可以将 $f(x,y)$ 看成是关于 $y$ 的函数，此时该函数为线性函数；同样的，固定向量 ${\bf m} =(x,y)$ 的纵坐标，那么可以将 $f(x,y)$ 看成是关于 $x$ 的函数，此时该函数也为线性函数．因此 $f(x,y)$ 具有性质，即$$f(x,y)=ax+by+c,$$其中 $a,b,c $ 是常数．填 ①③．
题目
答案
解析
备注
