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已知函数 $f\left(x\right)$ 满足：$f\left(1\right) = \dfrac{1}{4}$，$4f\left(x\right)f\left(y\right) = f\left(x + y\right) + f\left(x - y\right)\left(x,y \in {\mathbb{R}}\right)$，则 $f\left(2010\right) = $  ．
【难度】
【出处】
2010年高考重庆卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    抽象函数
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    递推与递归
【答案】
$\dfrac 12$
【解析】
法一联想到 $2\cos x \cos y=\cos (x+y)+\cos (x-y)$，可以想象，$f(x)=A\cos (\omega x+\varphi)$．
通过验算，以及待定系数，能够确定 $f(x)=\dfrac 12\cos \dfrac {\pi}{3} x$．
因此$$f\left(2010\right)=\dfrac 12\cos \dfrac {2010 \pi}{3} =\dfrac 12.$$法二取 $y=1$，则 $f(x)=f(x-1)+f(x+1)$，将 $f(x)$ 重新定义在 $\mathbb N$ 上的数列 $a_n$．
则有 $a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$，容易确定 $a_{n+6}=a_n$．因此$$f\left(2010\right)=a_{2010}=a_0,$$在原式中，取 $x=1$，$y=0$，则得到 $a_0=f(0)=\dfrac 12$．
法三在上述解析中对递推公式 $a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$ 用特征根法，可以求得 $ a_n=\dfrac 12\cos \dfrac {\pi}{3}n$．
因此$$f\left(2010\right)=\dfrac 12\cos \dfrac {2010 \pi}{3} =\dfrac 12.$$
题目 答案 解析 备注
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