若数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 满足：对任意的 $n \in {{\mathbb{N}}^ * }$，只有有限个正整数 $m$ 使得 ${a_m}<n$ 成立，记这样的 $m$ 的个数为 ${\left({a_n}\right)^ * }$，则得到一个新数列 $\left\{ {{{\left({a_n}\right)}^ * }} \right\}$．例如，若数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是 $1,2,3, \cdots ,n, \cdots $，则数列 $\left\{ {{{\left({a_n}\right)}^ * }} \right\}$ 是 $0,1,2, \cdots ,n - 1, \cdots $．已知对任意的 $n \in {{\mathbb{N}}^ * }$，${a_n} = {n^2}$，则 ${\left({a_5}\right)^ * } = $ ，${\left({\left({a_n}\right)^ * }\right)^ * } = $ ．
【难度】
【出处】
2010年高考湖南卷（理）
【标注】
【答案】
$2$；$n^2$
【解析】
${\left({a_n}\right)^ * }$ 中的第 $k$ 项为 $\left\{ {a_n} \right\}$ 中在区间 $(-\infty,k)$ 内的项数．
所以 $\left\{ {{{\left({a_n}\right)}^ * }} \right\}$ 为$$0,\underbrace {1,1,1}_{2^2-1\text{个}},\underbrace {2,2,2,2,2}_{3^2-2^2\text{个}},\underbrace {3,3,3,3,3,3,3}_{4^2-3^2\text{个}},\cdots, \underbrace {n,n,\cdots,n}_{n^2-{(n-1)}^2\text{个}},\cdots.$$因此$${\left({\left({a_n}\right)^ * }\right)^ * } = \left[n^2-(n-1)^2\right]+\left[(n-1)^2-(n-2)^2\right]+\cdots+(2^2-1)+1=n^2.$$
所以 $\left\{ {{{\left({a_n}\right)}^ * }} \right\}$ 为$$0,\underbrace {1,1,1}_{2^2-1\text{个}},\underbrace {2,2,2,2,2}_{3^2-2^2\text{个}},\underbrace {3,3,3,3,3,3,3}_{4^2-3^2\text{个}},\cdots, \underbrace {n,n,\cdots,n}_{n^2-{(n-1)}^2\text{个}},\cdots.$$因此$${\left({\left({a_n}\right)^ * }\right)^ * } = \left[n^2-(n-1)^2\right]+\left[(n-1)^2-(n-2)^2\right]+\cdots+(2^2-1)+1=n^2.$$
题目
答案
解析
备注
