定义方程 $f(x)=f'(x)$ 的实数根 $x_0$ 叫做函数 $f(x)$ 的“新驻点”，如果函数 $g(x)=x$，$h(x)=\ln {(x+1)}$，$\varphi (x)=\cos x$（$x\in \left(\dfrac {\pi}{2},\pi\right)$）的“新驻点”分别为 $\alpha,\beta,\gamma$，那么 $\alpha,\beta,\gamma$ 的大小关系是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\gamma> \alpha>\beta $
【解析】
将“新驻点“的定义应用到具体函数．
$\alpha,\beta,\gamma$ 分别为方程 $x=1$，$\ln {(x+1)}=\dfrac {1}{x+1}$，$\cos x =-\sin x$（$x\in \left(\dfrac {\pi}{2},\pi\right)$）的根．
显然 $\alpha=1<\dfrac {\pi}{2}<\gamma <\pi $，我们只需要判断 $\beta$ 的位置．
由于 $x=0$ 时，$$\ln {(x+1)}=0<1=\dfrac {1}{x+1};$$$x=1 $ 时，$$\ln {(x+1)}=\ln 2=\ln \sqrt 4>\ln \sqrt {\mathrm e}=\dfrac 12=\dfrac {1}{x+1};$$于是 $0<\beta<1$，从而 $\alpha,\beta,\gamma$ 的大小关系为 $\gamma> \alpha>\beta $．
$\alpha,\beta,\gamma$ 分别为方程 $x=1$，$\ln {(x+1)}=\dfrac {1}{x+1}$，$\cos x =-\sin x$（$x\in \left(\dfrac {\pi}{2},\pi\right)$）的根．
显然 $\alpha=1<\dfrac {\pi}{2}<\gamma <\pi $，我们只需要判断 $\beta$ 的位置．
由于 $x=0$ 时，$$\ln {(x+1)}=0<1=\dfrac {1}{x+1};$$$x=1 $ 时，$$\ln {(x+1)}=\ln 2=\ln \sqrt 4>\ln \sqrt {\mathrm e}=\dfrac 12=\dfrac {1}{x+1};$$于是 $0<\beta<1$，从而 $\alpha,\beta,\gamma$ 的大小关系为 $\gamma> \alpha>\beta $．
题目
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