给定集合 $A$，若对于任意 $ a,b \in A$，有 $ a+b \in A$，且 $ a-b \in A$，则称集合 $A$ 为闭集合，给出如下四个结论：
① 集合 $A=\{-4,-2,0,2,4\}$ 为闭集合；
② 集合 $A=\{n\mid n=3k, k \in \mathbb Z\}$ 为闭集合；
③ 若集合 $A_1,A_2$ 为闭集合，则 $A_1 \cup A_2$ 为闭集合；
④ 若集合 $A_1,A_2$ 为闭集合，且 $A_1$、$A_2$ 均为 $ \mathbb R$ 的真子集，则存在 $c\in \mathbb R$，使得 $c \not \in \left( A_1 \cup A_2\right) $．
其中正确结论的序号是 ．
① 集合 $A=\{-4,-2,0,2,4\}$ 为闭集合；
② 集合 $A=\{n\mid n=3k, k \in \mathbb Z\}$ 为闭集合；
③ 若集合 $A_1,A_2$ 为闭集合，则 $A_1 \cup A_2$ 为闭集合；
④ 若集合 $A_1,A_2$ 为闭集合，且 $A_1$、$A_2$ 均为 $ \mathbb R$ 的真子集，则存在 $c\in \mathbb R$，使得 $c \not \in \left( A_1 \cup A_2\right) $．
其中正确结论的序号是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
②④
【解析】
对于 ①，$ 2,4 \in A$，但 $ 2+4=6 \not \in A$，因此 ① 不正确；
对于 ②，$3$ 的倍数的和差一定仍然是 $3$ 的倍数，因此 ② 正确；
对于 ③，当集合 $A_1$ 与 $A_2$ 取并集时，显然 $A_1$、$A_2$ 的内部仍然封闭，但它们的交叉部分可能会出问题，继续对 ② 的思考，$A_1$ 为 $3$ 的倍数组成的集合，$A_2$ 为 $2$ 的倍数组成的集合，则 $2,3 \in A_1 \cup A_2$，但 $2+3 \not \in A_1 \cup A_2$，因此 ③ 不正确．
对于 ④，用反证法．设 $\forall c \in \mathbb R $，$c \in \left(A_1 \cup A_2\right) $，则 $A_1 \cup A_2=\mathbb R$．
考虑到 $A_1$、$A_2$ 均为 $ \mathbb R$ 的真子集，因此存在 $ a \in A_1/ A_2$，$ b \in A_2/ A_1$．
此时考虑 $a+b$ 即可推出矛盾．
综上，填 ②④．
对于 ②，$3$ 的倍数的和差一定仍然是 $3$ 的倍数，因此 ② 正确；
对于 ③，当集合 $A_1$ 与 $A_2$ 取并集时，显然 $A_1$、$A_2$ 的内部仍然封闭，但它们的交叉部分可能会出问题，继续对 ② 的思考，$A_1$ 为 $3$ 的倍数组成的集合，$A_2$ 为 $2$ 的倍数组成的集合，则 $2,3 \in A_1 \cup A_2$，但 $2+3 \not \in A_1 \cup A_2$，因此 ③ 不正确．
对于 ④，用反证法．设 $\forall c \in \mathbb R $，$c \in \left(A_1 \cup A_2\right) $，则 $A_1 \cup A_2=\mathbb R$．
考虑到 $A_1$、$A_2$ 均为 $ \mathbb R$ 的真子集，因此存在 $ a \in A_1/ A_2$，$ b \in A_2/ A_1$．
此时考虑 $a+b$ 即可推出矛盾．
综上，填 ②④．
题目
答案
解析
备注
