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已知数列 $a_n=\dfrac{2^n}3$，$n\in\mathbb N^*$，$b_n=\left[a_n\right]$，其中 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分，则数列 $\{b_n\}$ 的前 $2n$ 项和为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    递推与递归
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    归纳
  • 题型
    >
    数列
    >
    数列求和
【答案】
$\dfrac 23\left(4^n-1\right)-n,n\in\mathbb N^*$
【解析】
写出数列 $\{b_n\}$ 的前几项，为\[0,1,2,5,10,21,42,85,\cdots\]于是可归纳证明得到\[b_{n+1}=\begin{cases} 2b_n,& 2 \mid n,\\ 2b_n+1,& 2\nmid n,\end{cases}\]于是可得\[b_{2n-1}+b_{2n}=4\left(b_{2n-3}+b_{2n-2}\right)+3,n\geqslant 2,n\in\mathbb N^*,\]结合 $b_1+b_2=1$，可得\[b_{2n-1}+b_{2n}=\dfrac {4^n}2-1,n\in\mathbb N^*,\]因此所求的前 $2n$ 项和\[S_n=\dfrac 23\left(4^n-1\right)-n,n\in\mathbb N^*.\]
题目 答案 解析 备注
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