此问题等价于方程$$i+j+k=150,0\leqslant i,j,k\leqslant 100$$的非负整数解 $(i,j,k)$ 的个数．
如果 $i,j,k$ 没有不大于 $100$ 的限制，那么此问题可以直接用隔板法与对应法解决，将 $(i,j,k)$ 对应到 $(i',j',k')=(i+1,j+1,k+1)$，则考虑 $i'+j'+k'=153$ 的正整数解的个数即可，直接用隔板法知，共有 ${\rm C}_{152}^2$ 个．
再考虑不满足限制条件的解的个数，即 $i,j,k$ 中有一个数大于 $100$（有且仅有一个！），先考虑 $i\geqslant 101$ 的解的个数，作对应$$(i,j,k)\to (i',j',k')=(i-100,j+1,k+1),$$则 $i'+j'+k'=52$，考虑此方程的正整数解的个数即可，有 ${\rm C}_{51}^2$ 个，所以所有不满足限制条件的解的个数为 $3{\rm C}_{51}^2$．
综上知，$x^{150}$ 的系数为$${\rm C}_{152}^2-3{\rm C}_{51}^2=7651.$$