已知函数 $f\left( x \right)$ 由下表给出\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x&0&1&2&3&4 \\ \hline f\left(x\right)&a_0&a_1&a_2&a_3&a_4 \\ \hline \end{array}\]其中 ${a_k}\left( {k = 0,1,2,3,4} \right)$ 等于在 ${a_0},{a_1},{a_2},{a_3},{a_4}$ 中 $k$ 所出现的次数．则 ${a_4} = $ ；${a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} = $ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0$；$5$
【解析】
根据题意，${a_k}$（$k = 0,1,2,3,4$）等于在 ${a_0},{a_1},{a_2},{a_3},{a_4}$ 中 $k$ 所出现的次数，于是$$0\cdot {a_0}+{a_1}+2\cdot {a_2}+3\cdot {a_3}+4\cdot {a_4}={a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}.$$另一方面，${a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}$ 表示 $0$ 到 $4$ 在 ${a_0},{a_1},{a_2},{a_3},{a_4}$ 中出现的次数之和，为 $5$．于是$${a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}=5.$$因此$$\begin{cases} {a_1}+2\cdot {a_2}+3\cdot {a_3}+4\cdot {a_4}=5,\\
{a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}=5.
\end{cases}$$于是 $a_4=1$ 或 $a_4=0$．
若 $a_4=1$，则$$\begin{cases} {a_1}+2\cdot {a_2}+3\cdot {a_3} =1,\\
{a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3} =4.
\end{cases}$$因此 $a_2=a_3=0$，$a_1=1$，$a_0=3$ 不满足要求．
于是 $a_4=0$，从而 ${a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3} =5$．（事实上满足条件的数列为 $2,1,2,0,0$）．
{a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}=5.
\end{cases}$$于是 $a_4=1$ 或 $a_4=0$．
若 $a_4=1$，则$$\begin{cases} {a_1}+2\cdot {a_2}+3\cdot {a_3} =1,\\
{a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3} =4.
\end{cases}$$因此 $a_2=a_3=0$，$a_1=1$，$a_0=3$ 不满足要求．
于是 $a_4=0$，从而 ${a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3} =5$．（事实上满足条件的数列为 $2,1,2,0,0$）．
题目
答案
解析
备注
