查看数据源：59267971ee79c20009339828
定义在区间 $\left[ {a , b} \right]$ 上的连续函数 $y = f\left( x \right)$，如果 $\exists \xi \in \left[ {a , b} \right]$，使得 $f\left( b \right) - f\left( a \right) = f'\left( \xi \right)\left( {b - a} \right)$，则称 $\xi $ 为区间 $\left[ {a ,b} \right]$ 上的“中值点”．下列函数：
① $f\left( x \right) = 3x + 2$；
② $f\left( x \right) = {x^2} - x + 1$；
③ $f\left( x \right) = \ln \left( {x + 1} \right)$；
④ $f\left( x \right) = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^3}$ 中，在区间 $\left[ {0 ,1} \right]$ 上“中值点”多于一个的函数序号为  ．（写出所有满足条件的函数的序号）
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    信息迁移
  • 方法
    >
    数形结合
    >
    转化为斜率
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    微积分补充知识
    >
    拉格朗日中值定理
【答案】
①④
【解析】
将条件转化为 $ f'\left( \xi \right) =\dfrac {f\left( b \right) - f\left( a \right)}{ b - a} $，此时左右两边具有很强的几何意义．左边为函数在 $[0,1]$ 上某处的切线斜率，右边为在连接区间端点的割线斜率．
由图可知，① 有无数个“中值点”，④ 有两个“中值点”，而 ②③ 只有一个“中值点”．
题目 答案 解析 备注
0.113316s