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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15727 59098d2e38b6b4000adaa22a 高中 解答题 高中习题 已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2-2x-4y+1=0$． 2022-04-17 19:23:16
15725 59098ec738b6b400091effcf 高中 解答题 高中习题 证明排序不等式：若 $a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_n$ 且 $b_1\leqslant b_2 \leqslant \cdots \leqslant b_n$，$b_1',b_2',\cdots ,b_n'$ 是 $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ 的一个排列，则$$a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n\geqslant a_1b_1'+a_2b_2'+\cdots +a_nb_n'.$$ 2022-04-17 19:23:16
15689 590be03c6cddca0008611036 高中 解答题 高中习题 设 $f(x),g(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的函数，求证：存在 $x,y\in [0,1]$，使 $\left|xy-f(x)-g(y)\right|\geqslant \dfrac 14$． 2022-04-17 19:01:16
15655 5910284d40fdc7000a51cf49 高中 解答题 自招竞赛 若 $x,y$ 满足 ${x^2}-2xy+{y^2}-\sqrt3x-\sqrt3y+12=0$． 2022-04-17 19:42:15
15647 5911758ae020e700094b09b5 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为大于 $2$ 的整数，试用数学归纳法证明不等式$$1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{n^2}}} < 2 - \dfrac{1}{n};$$ 2022-04-17 19:37:15
15634 5912759ee020e700094b0b70 高中 解答题 自招竞赛 求证：对于任何实数 $a$ 与 $b$，三个数 $\left| {a + b} \right|$，$\left| {a - b} \right|$，$\left| {1 - a} \right|$ 中至少有一个不小于 $\dfrac{1}{2}$． 2022-04-17 19:30:15
15633 5912777ee020e7000878f830 高中 解答题 自招竞赛 方程 ${x^3} + p{x^2} + qx + 1 = 0$ 有 $3$ 个实根，且 $p,q$ $ > 0 $．求证：$ pq \geqslant 9$． 2022-04-17 19:30:15
15613 5912aaf5e020e70007fbee03 高中 解答题 自招竞赛 对于任意 $n \in {\mathbb{N}}$，${x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}$ 均为非负实数，且 ${x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n} \leqslant \dfrac{1}{2}$，试用数学归纳法证明：$\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \cdots \left( {1 - {x_n}} \right) \geqslant \dfrac{1}{2}$ 成立． 2022-04-17 19:17:15
15606 5912b5fce020e7000878f9d4 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a,b$ 为非负数，$M=a^4+b^4$，$a+b=1$，求 $M$ 的最值． 2022-04-17 19:12:15
15590 59141bf11edfe2000949ce40 高中 解答题 高中习题 设正实数 $a,b,c$ 满足 $abc=1$．求证：$\dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}\leqslant 1$． 2022-04-17 19:04:15
15582 59362900c2b4e70007c9403c 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，三边长为 $a,b,c$，求证：$$4b^3c^3\geqslant (b+c)^2(-a+b+c)^2(a-b+c)(a+b-c).$$ 2022-04-17 19:59:14
15571 59572c0ed3b4f900095c6661 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，且 $a^2+b^2+4c^2=1$，求 $ab+2ca+3\sqrt 2bc$ 的最大值． 2022-04-17 19:52:14
15570 595737d9d3b4f900086c44d8 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b$ 均为正实数，且 $a^4+b^2=5$，求 $a+b$ 的最大值． 2022-04-17 19:51:14
15566 5959d92ad3b4f900095c6751 高中 解答题 高中习题 已知 $\ln a-\ln 3=\ln c$，$bd=-3$，求 $(a-b)^2+(c-d)^2$ 的最小值． 2022-04-17 19:50:14
15563 595c4f45866eeb000914b610 高中 解答题 高中习题 已知正实数 $x,y$ 满足 $x^3+2y^3=x-y$，求使 $x^2+ky^2\leqslant 1$ 恒成立的 $k$ 的最大值． 2022-04-17 19:48:14
15557 595f24af815115000a492f98 高中 解答题 自招竞赛 设 $0 < {x_1},{x_2} , \cdots , {x_n} < 1$，且 ${x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n} = 1$ $\left(n\geqslant 2\right)$．求证：$\dfrac{1}{{{x_1} - x_1^3}} + \dfrac{1}{{{x_2} - x_2^3}} + \cdots + \dfrac{1}{{{x_n} - x_n^3}} > 4$． 2022-04-17 19:45:14
15550 59631dd53cafba000833730d 高中 解答题 自招竞赛 求正实数 $A$ 的最大值，使得对于任意实数 $x,y,z$，不等式 $x^4+y^4+z^4+x^2yz+xy^2z+xyz^2-A(xy+yz+zx)^2\geqslant 0$ 成立． 2022-04-17 19:40:14
15528 59633ced3cafba0009670e5e 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c \in \mathbb R^+$，且 $\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c=3$．求证：$$\dfrac{a+b}{2+a+b}+\dfrac{b+c}{2+b+c}+\dfrac{c+a}{2+c+a}\geqslant \dfrac 32,$$并指明等号成立的条件． 2022-04-17 19:28:14
15525 59642f84cbc47200093dd043 高中 解答题 自招竞赛 给定 $2014$ 个和为 $1$ 的非负实数 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{2014}$．
证明：存在 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{2014}$ 的一个排列 $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_{2014}$，满足 $x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{2013}x_{2014}+x_{2014}x_{1}\leqslant \dfrac {1}{2014}$．		 2022-04-17 19:26:14
15515 596491fe22a5da0007aed4a2 高中 解答题 自招竞赛 如果存在 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 满足 $x_1+2x_2+\cdots +nx_n=2009$，且 $x_1+x_2+\cdots +x_n=0$，其中 $x_i=\pm 7$，$i=1,2,\cdots ,n$．试确定 $n$ 的最小值． 2022-04-17 19:20:14
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