若 $x,y$ 满足 ${x^2}-2xy+{y^2}-\sqrt3x-\sqrt3y+12=0$．
【难度】
【出处】
2000年上海交通大学连读班测试题
【标注】
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求 $x+y$ 的最小值；标注答案$4\sqrt3$解析不妨设 $x\geqslant y$，显然$$x+y>0,xy>0,$$于是 $x,y>0$．$${x^2}-2xy+{y^2}-\sqrt3x-\sqrt3y+12=0,$$即$${\left({x-y}\right)^2}-\sqrt3\left({x+y}\right)+12=0.$$令 $x-y=a$，$x+y=b$，则$${a^2}-\sqrt3b+12=0,$$$$b=\dfrac{{{a^2}+12}}{{\sqrt3}}\geqslant \dfrac{{12}}{{\sqrt3}}=4\sqrt3.$$（当 $a=0$，即 $x=y$ $=2\sqrt3$ 时取得等号）．
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求 $xy$ 的最小值；标注答案$12$解析令 $x-y=a$，$xy=b$，则$$x+y=\sqrt{{a^2}+4b},$$于是条件为$${a^2}-\sqrt3\cdot\sqrt{{a^2}+4b}+12=0,$$$$b=\dfrac{{{a^4}+21{a^2}+144}}{{12}}\geqslant 12.$$（当 $a=0$，即 $x=y$ $=2\sqrt3$ 时取得等号）．
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求 ${x^3}+{y^3}$ 的最小值；标注答案$48\sqrt 3$解析$${x^3}+{y^3}\geqslant 2{\left({\dfrac{{x+y}}{2}}\right)^3}\geqslant 48\sqrt3.$$（当 $x=y$ $=2\sqrt3$ 时取得等号）．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
