设 $n$ 为大于 $2$ 的整数，试用数学归纳法证明不等式$$1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{n^2}}} < 2 - \dfrac{1}{n};$$
【难度】
【出处】
2002年上海交通大学保送生连读班考试
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $n = 3$ 时，有\[\begin{split}LHS&= 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{{49}}{{36}},\\ RHS&= \dfrac{5}{3} = \dfrac{{60}}{{36}},\end{split}\]命题成立；
设命题对 $n$ 成立，则 $n + 1$ 时，\[\begin{split}LHS-RHS& = 1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \left( {2 - \dfrac{1}{{n + 1}}} \right) \\&< \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\\& = \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0.\end{split}\]所以命题成立．
综上，原命题得证．
设命题对 $n$ 成立，则 $n + 1$ 时，\[\begin{split}LHS-RHS& = 1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \left( {2 - \dfrac{1}{{n + 1}}} \right) \\&< \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\\& = \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0.\end{split}\]所以命题成立．
综上，原命题得证．
答案
解析
备注
