设 $a,b,c \in \mathbb R^+$，且 $\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c=3$．求证：$$\dfrac{a+b}{2+a+b}+\dfrac{b+c}{2+b+c}+\dfrac{c+a}{2+c+a}\geqslant \dfrac 32,$$并指明等号成立的条件．
【难度】
【出处】
2011年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
由柯西不等式$$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{\dfrac{a_i^2}{b_i}}\geqslant \dfrac{\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\right)^2}{\sum\limits_{i=1}^nb_i},$$得到$$\dfrac{a+b}{2+a+b}+\dfrac{b+c}{2+b+c}+\dfrac{c+a}{2+c+a}\geqslant \dfrac{(\sqrt{a+b}+\sqrt{c+b}+\sqrt{a+c})^2}{6+2(a+b+c)}\cdots {\text{ ① }}$$\[\begin{split}\text{ ① 式右边的分子}&=2(a+b+c)+2(\sqrt{a+b}\sqrt{c+b}+\sqrt{c+b}\sqrt{a+c}+\sqrt{a+c}\sqrt{c+b})\\&=2(a+b+c)+2(\sqrt{b^2+b(a+c)+ac}+\cdots)\\&\geqslant 2(a+b+c)+2(\sqrt{b^2+2b\sqrt{ac}+ac}+\cdots)\\&=2(a+b+c)+2(b+\sqrt{ac}+a+\sqrt{bc}+c+\sqrt{ab})\\&=3(a+b+c)+(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c)^2\\&=3(a+b+c+3).\end{split}\]等号成立的条件是 $a=b=c=1$，结论成立．
答案
解析
备注
