在 $\triangle ABC$ 中，三边长为 $a,b,c$，求证：$$4b^3c^3\geqslant (b+c)^2(-a+b+c)^2(a-b+c)(a+b-c).$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $a=y+z,b=z+x,c=x+y$，其中 $x,y,z>0$，则原不等式等价于$$4(z+x)^3(x+y)^3\geqslant (2x+y+z)^2\cdot 4x^2\cdot 2y\cdot 2z,$$即$$(x+y)^3(x+z)^3\geqslant 4x^2yz(2x+y+z)^2.$$欲证明不等式即$$\dfrac{(x+y)(x+z)}{x^2yz}\geqslant 4\left[\dfrac{2x+y+z}{(x+y)(x+z)}\right]^2,$$也即$$\left(\dfrac 1x+\dfrac 1y\right)\left(\dfrac 1x+\dfrac 1z\right)\geqslant 4\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)^2,$$也即$$\left(1+\dfrac xy\right)\left(1+\dfrac xz\right)\geqslant 4\left(\dfrac{1}{1+\dfrac yx}+\dfrac{1}{1+\dfrac zx}\right)^2,$$令 $\dfrac yx=\tan^2\alpha,\dfrac zx=\tan^2\beta$，其中 $\alpha,\beta\in \left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则上述不等式即$$\dfrac{1}{\sin^2\alpha\cdot\sin^2\beta}\geqslant 4\left(\cos^2\alpha+\cos^2\beta\right)^2,$$也即$$2\sin\alpha\sin\beta\left(\cos^2\alpha+\cos^2\beta\right)\leqslant 1.$$事实上，上式\[\begin{split} LHS&=\sin 2\alpha\cdot \sin\beta\cos\alpha+\sin 2\beta\cdot \cos\beta\sin\alpha\\ &\leqslant \sin\beta\cos\alpha+\cos\beta\sin\alpha\\ &=\sin(\alpha+\beta)\leqslant 1,\end{split}\]等号当且仅当 $\alpha=\beta=\dfrac{\pi}4$ 时取得，因此原不等式得证，且等号取得的条件是 $x=y=z$，即 $a=b=c$，也即 $\triangle ABC$ 为正三角形．
答案
解析
备注
