已知 $\ln a-\ln 3=\ln c$，$bd=-3$，求 $(a-b)^2+(c-d)^2$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{18}5$
【解析】
根据已知，有 $a=3c$ 且 $c>0$，因此题中代数式为射线 $y=3x$（$x>0$）上的点 $A(c,3c)$ 到函数 $y=-\dfrac 3x$ 上的点 $B\left(d,-\dfrac 3d\right)$ 的距离的平方．
由几何意义，考虑函数 $y=-\dfrac 3x$ 的斜率为 $3$ 的切线，切点 $T$ 的横坐标 $t$ 满足$$\dfrac 3{t^2}=3.$$取 $T(-1,3)$，则过 $T$ 作射线 $y=3x$（$x>0$）的垂线，可得所求代数式的最小值为$$d^2=\left(\dfrac{|3\cdot (-1)-3|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}\right)^2=\dfrac{18}5.$$
由几何意义，考虑函数 $y=-\dfrac 3x$ 的斜率为 $3$ 的切线，切点 $T$ 的横坐标 $t$ 满足$$\dfrac 3{t^2}=3.$$取 $T(-1,3)$，则过 $T$ 作射线 $y=3x$（$x>0$）的垂线，可得所求代数式的最小值为$$d^2=\left(\dfrac{|3\cdot (-1)-3|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}\right)^2=\dfrac{18}5.$$
答案
解析
备注
