证明排序不等式：若 $a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_n$ 且 $b_1\leqslant b_2 \leqslant \cdots \leqslant b_n$，$b_1',b_2',\cdots ,b_n'$ 是 $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ 的一个排列，则$$a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n\geqslant a_1b_1'+a_2b_2'+\cdots +a_nb_n'.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设数列 $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ 的前 $k$ 项和为 $S_k$，数列 $b_1',b_2',\cdots ,b_n'$ 的前 $k$ 项和为 $S_k'$，那么有 $S_k\leqslant S_k'$（$1\leqslant k\leqslant n-1$），且 $S_n=S_n'$．于是\[\begin{split} a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n&=a_1\cdot S_1+a_2\cdot (S_2-S_1)+\cdots +a_n\cdot (S_n-S_{n-1})\\ &= (a_1-a_2)\cdot S_1 +(a_2-a_3)\cdot S_2+\cdots +(a_{n-1}-a_n)\cdot S_{n-1}+a_nS_n \\ &\geqslant (a_1-a_2)\cdot S_1'+(a_2-a_3)\cdot S_2'+\cdots +(a_{n-1}-a_n)\cdot S_{n-1}'+a_nS_n' \\ &= a_1b_1'+a_2b_2'+\cdots +a_nb_n',\end{split}\]从而原命题得证．
答案
解析
备注
