求证：对于任何实数 $a$ 与 $b$，三个数 $\left| {a + b} \right|$，$\left| {a - b} \right|$，$\left| {1 - a} \right|$ 中至少有一个不小于 $\dfrac{1}{2}$．
【难度】
【出处】
2004年同济大学自主招生优秀考生文化测试
【标注】
【答案】
略
【解析】
用反证法．
假设 $\left| {a + b} \right|$，$\left| {a - b} \right|$，$\left| {1 - a} \right|$ 均小于 $\dfrac 12$，则$$\left| {a + b} \right| + \left| {a - b} \right| + \left| {1 - a} \right| + \left| {1 - a} \right|<2.$$因为$$\left| {a + b} \right| + \left| {a - b} \right| + \left| {1 - a} \right| + \left| {1 - a} \right|\geqslant \left| {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right) + \left( {1 - a} \right) + \left( {1 - a} \right)} \right|= 2,$$矛盾，因此假设不成立，故结论成立．
假设 $\left| {a + b} \right|$，$\left| {a - b} \right|$，$\left| {1 - a} \right|$ 均小于 $\dfrac 12$，则$$\left| {a + b} \right| + \left| {a - b} \right| + \left| {1 - a} \right| + \left| {1 - a} \right|<2.$$因为$$\left| {a + b} \right| + \left| {a - b} \right| + \left| {1 - a} \right| + \left| {1 - a} \right|\geqslant \left| {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right) + \left( {1 - a} \right) + \left( {1 - a} \right)} \right|= 2,$$矛盾，因此假设不成立，故结论成立．
答案
解析
备注
