求正实数 $A$ 的最大值，使得对于任意实数 $x,y,z$，不等式 $x^4+y^4+z^4+x^2yz+xy^2z+xyz^2-A(xy+yz+zx)^2\geqslant 0$ 成立．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac 23$
【解析】
当 $x=y=z$ 时，不等式变形为 $6x^4\geqslant A\cdot 9x^4,x\in {\mathbb R}$，即 $A\leqslant \dfrac 23$．
下面证明：$A$ 的最大值为 $\dfrac 23$．
对于 $x,y,z \in \mathbb R$，$$x^4+y^4+z^4+xyz(x+y+z)\geqslant \dfrac 23(xy+yz+zx)^2.$$即证$$3(x^4+y^4+z^4)+3xyz(x+y+z)\geqslant 2(xy+yz+zx)^2.$$因为$$x^4+y^4+z^4\geqslant x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2,$$所以，只需证明$$3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+3xyz(x+y+z)\geqslant 2(xy+yz+zx)^2,$$即证$$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geqslant xyz(x+y+z),$$因$$(xy-yz)^2+(yz-zx)^2+(zx-xy)^2\geqslant 0,$$故结论不成立．
下面证明：$A$ 的最大值为 $\dfrac 23$．
对于 $x,y,z \in \mathbb R$，$$x^4+y^4+z^4+xyz(x+y+z)\geqslant \dfrac 23(xy+yz+zx)^2.$$即证$$3(x^4+y^4+z^4)+3xyz(x+y+z)\geqslant 2(xy+yz+zx)^2.$$因为$$x^4+y^4+z^4\geqslant x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2,$$所以，只需证明$$3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+3xyz(x+y+z)\geqslant 2(xy+yz+zx)^2,$$即证$$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geqslant xyz(x+y+z),$$因$$(xy-yz)^2+(yz-zx)^2+(zx-xy)^2\geqslant 0,$$故结论不成立．
答案
解析
备注
