对于任意 $n \in {\mathbb{N}}$，${x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}$ 均为非负实数，且 ${x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n} \leqslant \dfrac{1}{2}$，试用数学归纳法证明：$\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \cdots \left( {1 - {x_n}} \right) \geqslant \dfrac{1}{2}$ 成立．
【难度】
【出处】
2006年复旦大学推优保送生考试（A卷）
【标注】
【答案】
略
【解析】
对 $n$ 进行归纳．假设题中不等式对 $n$ 个非负实数成立，则 $n+1$ 个非负实数时，条件为\[x_1+x_2+\cdots +x_n+x_{n+1}\leqslant \dfrac 12,\]有\[\begin{split}LHS&=(1-x_1)(1-x_2)\cdots (1-x_n-x_{n+1}+x_nx_{n+1})\\
&\geqslant (1-x_1)(1-x_2)\cdots (1-x_n-x_{n+1})\\
&\geqslant \dfrac 12=RHS,\end{split}\]于是原命题得证．
&\geqslant (1-x_1)(1-x_2)\cdots (1-x_n-x_{n+1})\\
&\geqslant \dfrac 12=RHS,\end{split}\]于是原命题得证．
答案
解析
备注
