设正实数 $a,b,c$ 满足 $abc=1$．求证：$\dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}\leqslant 1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由排序不等式可知\[\left(a^{\frac 13}+b^{\frac 13}\right)\cdot a^{\frac 13}b^{\frac 13}\leqslant a+b,\]于是$$a^{\frac 13}+b^{\frac 13}\leqslant \dfrac{a+b}{a^{\frac 13}b^{\frac 13}},$$故$$a^{\frac 13}+b^{\frac 13}\leqslant (a+b)c^{\frac 13},$$进而$$a^{\frac 13}+b^{\frac 13}+c^{\frac 13}\leqslant (a+b+1)c^{\frac 13},$$因此$$\dfrac{1}{a+b+1}\leqslant \dfrac{c^{\frac 13}}{a^{\frac 13}+b^{\frac 13}+c^{\frac 13}},$$故$$ \dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}\leqslant 1.$$
答案
解析
备注
