如果存在 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 满足 $x_1+2x_2+\cdots +nx_n=2009$，且 $x_1+x_2+\cdots +x_n=0$，其中 $x_i=\pm 7$，$i=1,2,\cdots ,n$．试确定 $n$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
$34$
【解析】
注意到$$2009=7\cdot 287.$$令 $y_i=\dfrac{x_i}{7}$，$i=1,2,\cdots ,n$，则 $y_i=\pm 1$．
题设方程化为\[\begin{split}y_1+y_2+\cdots +y_n&=0,\cdots {\text{ ① }}\\ y_1+2y_2+\cdots +ny_n&=287.\cdots {\text{ ② }}.\end{split}\]由 ① 可知 $n$ 为偶数，设 $n=2k$，则 $y_1,y_2,\cdots ,y_n$ 中有 $k$ 个 $-1$ 和 $k$ 个 $1$．
由 ② 得$$287\leqslant (2k+(2k-1)+\cdots +(k+1))-(k+(k-1)+\cdots +2+1)=k^2.$$所以 $k^2\geqslant 287$，即$$k\geqslant 17 , n\geqslant 34.$$当 $n=34$ 时，取\[\begin{split}&y_1=y_2=\cdots =y_{16}=y_{18}=-1,\\&y_{17}=y_{19}=y_{20}=\cdots =y_{34}=1,\end{split}\]则满足 ① 和 ②，所以 $n$ 的最小值为 $34$
题设方程化为\[\begin{split}y_1+y_2+\cdots +y_n&=0,\cdots {\text{ ① }}\\ y_1+2y_2+\cdots +ny_n&=287.\cdots {\text{ ② }}.\end{split}\]由 ① 可知 $n$ 为偶数，设 $n=2k$，则 $y_1,y_2,\cdots ,y_n$ 中有 $k$ 个 $-1$ 和 $k$ 个 $1$．
由 ② 得$$287\leqslant (2k+(2k-1)+\cdots +(k+1))-(k+(k-1)+\cdots +2+1)=k^2.$$所以 $k^2\geqslant 287$，即$$k\geqslant 17 , n\geqslant 34.$$当 $n=34$ 时，取\[\begin{split}&y_1=y_2=\cdots =y_{16}=y_{18}=-1,\\&y_{17}=y_{19}=y_{20}=\cdots =y_{34}=1,\end{split}\]则满足 ① 和 ②，所以 $n$ 的最小值为 $34$
答案
解析
备注
