给定 $2014$ 个和为 $1$ 的非负实数 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{2014}$．
证明：存在 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{2014}$ 的一个排列 $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_{2014}$，满足 $x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{2013}x_{2014}+x_{2014}x_{1}\leqslant \dfrac {1}{2014}$．
证明：存在 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{2014}$ 的一个排列 $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_{2014}$，满足 $x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{2013}x_{2014}+x_{2014}x_{1}\leqslant \dfrac {1}{2014}$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
为方便起见，称和式$$y_1y_2+y_2y_3+\cdots +y_{2013}y_{2014}+y_{2014}y_1$$为 $2014$ 个实数 $y_1$，$y_2$，$\cdots$，$y_{2014}$ 的“循环和式”．
由于 $2014$ 个排列：
$b_1$，$b_2$，$b_3$，$\cdots$，$b_{2014}$；
$b_2$，$b_3$，$\cdots$，$b_{2014}$，$b_1$；
$b_3$，$b_4$，$\cdots$，$b_{2014}$，$b_1$，$b_2$；
$\cdots$；
$b_{2014}$，$b_1$，$b_2$，$\cdots$，$b_{2013}$ 对应的“循环和式”是同一个“循环和式”，因此 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$\cdots$，$a_{2014}$ 的 $2014!$ 个排列对应 $2013!$ 个“循环和式”．
记这 $2013!$ 个“循环和式”为 $P_1$，$P_2$，$P_3$，$\cdots$，$P_{k}$ 其中 $k=2013!$．
设这 $2013!$ 个“循环和式”总和为 $S$，即$$S=P_1+P_2+P_3+\cdots+P_k.$$由于每一个 $a_m(m=1,2,3,\cdots,2014)$ 在每个“循环和式”中均出现两次，因此，在 $S$ 中共出现 $2\times 2013!$ 次．
所以$$S=\left(\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant 2014}a_ia_j\right)\times 2 \times2012!,$$这里$$ \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant 2014}a_ia_j =a_1a_2+a_1a_3+\cdots+a_1a_{2014}+a_2a_3+a_2a_4+\cdots+a_2a_{2014}+\cdots +a_{2013}a_{2014}.$$另一方面，由$$ 2\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant 2014}a_ia_j =(a_1+a_2+a_3 +\cdots+ a_{2014})^2-( a_1^2+ a_2^2+a_3^2 +\cdots+ a_{2014}^2),$$以及柯西不等式：$$(a_1+a_2+a_3 +\cdots+ a_{2014})^2\leqslant (1^2+1^2+1^2+\cdots +1^2)( a_1^2+ a_2^2+a_3^2 +\cdots+ a_{2014}^2),$$得$$ a_1^2+ a_2^2+a_3^2 +\cdots+ a_{2014}^2 \geqslant \dfrac {1}{2014},$$$$2 \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant 2014}a_ia_j\leqslant 1-\dfrac {1}{2014},$$所以$$ \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant 2014}a_ia_j\leqslant \dfrac {2013}{2\times 2014},$$故$$S \leqslant \dfrac {2013}{2\times 2014}\times 2\times 2012!=\dfrac {2013!}{2014}.$$所以 $P_1$，$P_2$，$P_3$，$\cdots$，$P_{k}$ 中至少有一个不大于 $\dfrac {S}{2013!}\leqslant \dfrac {1}{2014}$．
设 $P_l \leqslant \dfrac {1}{2014}$，则对应的“循环和式”为 $P_l$ 的排列符合要求．
因此存在一个 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$\cdots$，$a_{2014}$ 的排列符合要求．
由于 $2014$ 个排列：
$b_1$，$b_2$，$b_3$，$\cdots$，$b_{2014}$；
$b_2$，$b_3$，$\cdots$，$b_{2014}$，$b_1$；
$b_3$，$b_4$，$\cdots$，$b_{2014}$，$b_1$，$b_2$；
$\cdots$；
$b_{2014}$，$b_1$，$b_2$，$\cdots$，$b_{2013}$ 对应的“循环和式”是同一个“循环和式”，因此 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$\cdots$，$a_{2014}$ 的 $2014!$ 个排列对应 $2013!$ 个“循环和式”．
记这 $2013!$ 个“循环和式”为 $P_1$，$P_2$，$P_3$，$\cdots$，$P_{k}$ 其中 $k=2013!$．
设这 $2013!$ 个“循环和式”总和为 $S$，即$$S=P_1+P_2+P_3+\cdots+P_k.$$由于每一个 $a_m(m=1,2,3,\cdots,2014)$ 在每个“循环和式”中均出现两次，因此，在 $S$ 中共出现 $2\times 2013!$ 次．
所以$$S=\left(\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant 2014}a_ia_j\right)\times 2 \times2012!,$$这里$$ \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant 2014}a_ia_j =a_1a_2+a_1a_3+\cdots+a_1a_{2014}+a_2a_3+a_2a_4+\cdots+a_2a_{2014}+\cdots +a_{2013}a_{2014}.$$另一方面，由$$ 2\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant 2014}a_ia_j =(a_1+a_2+a_3 +\cdots+ a_{2014})^2-( a_1^2+ a_2^2+a_3^2 +\cdots+ a_{2014}^2),$$以及柯西不等式：$$(a_1+a_2+a_3 +\cdots+ a_{2014})^2\leqslant (1^2+1^2+1^2+\cdots +1^2)( a_1^2+ a_2^2+a_3^2 +\cdots+ a_{2014}^2),$$得$$ a_1^2+ a_2^2+a_3^2 +\cdots+ a_{2014}^2 \geqslant \dfrac {1}{2014},$$$$2 \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant 2014}a_ia_j\leqslant 1-\dfrac {1}{2014},$$所以$$ \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant 2014}a_ia_j\leqslant \dfrac {2013}{2\times 2014},$$故$$S \leqslant \dfrac {2013}{2\times 2014}\times 2\times 2012!=\dfrac {2013!}{2014}.$$所以 $P_1$，$P_2$，$P_3$，$\cdots$，$P_{k}$ 中至少有一个不大于 $\dfrac {S}{2013!}\leqslant \dfrac {1}{2014}$．
设 $P_l \leqslant \dfrac {1}{2014}$，则对应的“循环和式”为 $P_l$ 的排列符合要求．
因此存在一个 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$\cdots$，$a_{2014}$ 的排列符合要求．
答案
解析
备注
