已知正实数 $x,y$ 满足 $x^3+2y^3=x-y$，求使 $x^2+ky^2\leqslant 1$ 恒成立的 $k$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2+2\sqrt 3$
【解析】
根据题意，有\[x-y=x^3+2y^3>0,\]于是\[(x^2+ky^2)(x-y)\leqslant x^3+2y^3,\]即\[-x^2y+kxy^2-ky^3\leqslant 2y^3,\]也即\[k\leqslant \dfrac{t^2+2}{t-1},\]其中 $t=\dfrac xy$，$t>1$．而\[\dfrac{t^2+2}{t-1}=t-1+\dfrac{3}{t-1}+2\geqslant 2+2\sqrt 3,\]等号当 $t=1+\sqrt 3$ 时取得．因此所求 $k$ 的最大值为 $2+2\sqrt 3$．
答案
解析
备注
