已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2-2x-4y+1=0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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证明：$0\leqslant \dfrac{y}{x+2}\leqslant \dfrac{12}{5}$；标注答案略解析由已知 $(x-1)^2+(y-2)^2=4$．于是 $T(x,y)$ 表示以 $M(1,2)$ 为圆心，$2$ 为半径的圆上的点．根据题意，有\[\dfrac{y}{x+2}=\dfrac{y-0}{x-(-2)},\]表示点 $T(x,y)$ 与点 $A(-2,0)$ 连线的斜率．画出图形．
显然直线 $AN$ 的斜率为 $0$，直线 $AP$ 的斜率为$$\tan {\angle{PAN}}=\tan {2\angle{MAN}}=\dfrac{2\tan {\angle{MAN}}}{1-\tan ^2{\angle{MAN}}},$$而$$\tan{\angle{MAN}}=\dfrac{MN}{AN}=\dfrac 23,$$从而$$\tan {\angle{PAN}}=\dfrac{2\cdot \dfrac 23}{1-\left(\dfrac 23\right)^2}=\dfrac{12}{5}.$$故命题成立． -
证明：$9-4\sqrt 5 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 9+4\sqrt 5$．标注答案略解析因为 $x^2+y^2=|OT|^2$，所以\[\left(|OM|-r\right)^2\leqslant x^2+y^2\leqslant \left(|OM|+r\right)^2,\]故原命题成立．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
