设 $0 < {x_1},{x_2} , \cdots , {x_n} < 1$，且 ${x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n} = 1$ $\left(n\geqslant 2\right)$．求证：$\dfrac{1}{{{x_1} - x_1^3}} + \dfrac{1}{{{x_2} - x_2^3}} + \cdots + \dfrac{1}{{{x_n} - x_n^3}} > 4$．
【难度】
【出处】
2010年浙江大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
略
【解析】
事实上，根据均值不等式，$$\dfrac{1}{{x - {x^3}}} = \dfrac{x}{{{x^2}\left( {1 - {x^2}} \right)}} \geqslant 4x,$$当且仅当 $x=\dfrac {\sqrt 2}2$ 时取等号．
根据辅助不等式$$\dfrac{1}{{x - {x^3}}} \geqslant 4x , x \in \left( {0 ,1} \right),$$命题得证．
根据辅助不等式$$\dfrac{1}{{x - {x^3}}} \geqslant 4x , x \in \left( {0 ,1} \right),$$命题得证．
答案
解析
备注
