已知 $a,b$ 为非负数，$M=a^4+b^4$，$a+b=1$，求 $M$ 的最值．
【难度】
【出处】
2006年清华大学保送生暨自主招生试题
【标注】
【答案】
$M$ 的最大值为 $1$，最小值为 $\dfrac18$
【解析】
由$$a^4+b^4\leqslant(a+b)^4\leqslant1,$$当且仅当 $a=1$，$b=0$ 或 $a=0$，$b=1$ 时取得等号．
因为$$\left(\dfrac{a^4+b^4}{2}\right)^{\frac14}\geqslant\dfrac{a+b}{2},$$所以$$a^4+b^4\geqslant2\cdot\left(\dfrac12\right)^4=\dfrac18,$$当且仅当 $a=b=\dfrac12$ 时取得等号．
因为$$\left(\dfrac{a^4+b^4}{2}\right)^{\frac14}\geqslant\dfrac{a+b}{2},$$所以$$a^4+b^4\geqslant2\cdot\left(\dfrac12\right)^4=\dfrac18,$$当且仅当 $a=b=\dfrac12$ 时取得等号．
答案
解析
备注
