已知 $a,b$ 均为正实数，且 $a^4+b^2=5$，求 $a+b$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
我们知道，如果已知 $a^2+b^2=5$，求 $a+b$ 的最大值，可以通过$$a+b=1\cdot a+1\cdot b\leqslant \sqrt{1^2+1^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2}$$求得，但这里是 $a^4$，就需要引入参数借助二次函数求最值了：\[\begin{split} a+b&=\dfrac{1}{\lambda}\cdot\lambda a+1\cdot b\\&\leqslant \sqrt{\left(\dfrac {1}{\lambda}\right)^2+1^2}\cdot \sqrt{(\lambda a)^2+b^2}\\&=\sqrt{\dfrac{1}{\lambda^2}+1}\cdot\sqrt{\lambda^2a^2+5-a^4}\\&=\sqrt{\dfrac{1}{\lambda^2}+1}\cdot\sqrt{-\left(a^2-\dfrac 12\lambda^2\right)^2+5+\dfrac 14\lambda^4}\\&\leqslant \sqrt{\dfrac{1}{\lambda^2}+1}\cdot\sqrt{5+\dfrac 14\lambda^4},\end{split}\]其中等号取得的条件为$$\begin{cases}\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{\lambda a}{b},\\a^4+b^2=5,\\ a^2=\dfrac 12\lambda^2,\end{cases}$$解得$$a=1,b=2,\lambda=\sqrt 2,$$于是所求代数式的最大值为$$\left.\sqrt{\dfrac{1}{\lambda^2}+1}\cdot\sqrt{5+\dfrac 14\lambda^4}\right|_{\lambda =\sqrt 2}=3.$$
答案
解析
备注
