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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15668 590fdaef857b420007d3e5b7 高中 解答题 自招竞赛 记 $\triangle ABC$ 的三个内角为 $A,B,C$．试问：是否存在满足条件 $\cos A+\cos B=\cos C$ 的非等腰三角形？请给出证明． 2022-04-17 19:51:15
15616 59128be3e020e700094b0c95 高中 解答题 自招竞赛 已知 $A,B,C$ 为 $\triangle ABC$ 的三个内角，求证：$\cos B + \cos C + \dfrac{{2a}}{{b + c}} \geqslant 4\sin \dfrac{A}{2}$． 2022-04-17 19:19:15
15594 5912be78e020e700094b0d8c 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\triangle ABC$ 面积为 $1$，$D,E,F$ 分别在 $BC,CA,AB$ 上，$BD = 2DC$，$CE = 2EA$，$AF = 2FB$，$AD,BE,CF$ 两两相交于 $P,Q,R$．求 $\triangle PQR$ 的面积． 2022-04-17 19:06:15
15584 592e1959eab1df000ab6eb7c 高中 解答题 高中习题 如图，$\angle ABC=\angle ADC=90^\circ$，$\angle BAD=60^\circ$，$BC=2CD=2$，求  $AC$； 2022-04-17 19:00:15
15537 596333e43cafba00076131f0 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle{ABC}$ 中，$a,b,c$ 分别为内角 $A,B,C$ 所对的边，且满足 $\sin A+\sqrt 3 \cos A=2$． 2022-04-17 19:34:14
15482 5968885922d1400008181679 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB=2,AC=1$，且 $\cos2A+2\sin^2\dfrac{B+C}{2}=1$． 2022-04-17 19:02:14
15463 596d73f077128b0007cc5741 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 三个内角 $A,B,C$ 的对边，$b\cos C+\sqrt 3b\sin C-a-c=0$． 2022-04-17 19:55:13
15448 59719c58d3e6ac00094ed532 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，$AB$ 为 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 的斜边，$I$ 为其内心．若 $\triangle IAB$ 的外接圆的半径为 $R$，$\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 的内切圆半径为 $r$，求证：$R\geqslant(2+\sqrt2)r$． 2022-04-17 19:46:13
15435 597994d40a41cd0009ba439c 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}=8$，记 $\angle BAC=\theta$，$\triangle ABC$ 的面积为 $S$，且满足 $4(2-\sqrt 3) \leqslant S \leqslant 4\sqrt 3$． 2022-04-17 19:39:13
15414 597e88abd05b90000b5e3085 高中 解答题 高中习题 是否存在一个非等腰三角形 $ABC$，使得 $\cos A+\cos B=\cos C$？ 2022-04-17 19:27:13
15397 5982cdf065a6ba00070eee3f 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\triangle{ABC}$ 的内切圆半径为 $2$，且 $\tan A=-\dfrac 43$，求 $\triangle{ABC}$ 面积的最小值． 2022-04-17 19:18:13
15370 59897e425a1cff000829c967 高中 解答题 自招竞赛 设 $\triangle ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 所对的边分别为 $a$、$b$、$c$，且 $a \cos C+\dfrac 12c=b$． 2022-04-17 19:01:13
15358 598bbe4581aa6e000bb966f3 高中 解答题 自招竞赛 （$20$ 分）设 $x$、$y$ 均为非零实数，且满足 $\dfrac{x\sin \dfrac{\rm \pi}5+y\cos \dfrac {\rm \pi}5}{x\cos \dfrac{\rm \pi}5-y\sin \dfrac {\rm \pi}5}=\tan \dfrac{9{\rm \pi}}{20}$． 2022-04-17 19:56:12
15357 598bd78681aa6e00080d3ea2 高中 解答题 自招竞赛 在非等腰 $\triangle ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，且满足 $(2c-b)\cos C=(2b-c)\cos B$． 2022-04-17 19:55:12
15302 59c732a6778d4700085f6be2 高中 解答题 高中习题 在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且\[\dfrac{b}{(a+c)\sin A}=\dfrac{1}{\cos\left(B+\dfrac{3\pi}2\right)}.\] 2022-04-17 19:26:12
15232 5c6f967a210b280150527469 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=13$，$BC=15$ 和 $CA=17$．点 $D$，$E$ 和 $F$ 分别在边 $AB$，$AC$ 和 $CA$ 上．设 $AD=p\cdot AB$，$BE=q\cdot BC$，$CF=r\cdot CA$，其中 $p$，$q$，$r$ 都是正数，且满足 $p+q+r=\frac{2}{3}$，${{p}^{2}}+{{q}^{2}}+{{r}^{2}}=\frac{2}{5}$．$\vartriangle DEF$ 与 $\vartriangle ABC$ 的面积之比可以写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 19:50:11
15198 5c91ccd5210b286d125ef449 高中 解答题 自招竞赛 等边 $\Delta ABC$ 中，$D\text{,}E$ 三分 $BC$ 。 $\sin \left( \angle DAE \right)$ 可被表示为 $\frac{a\sqrt{b}}{c}$，其中 $a\text{,}c$ 为互质正整数，$b$ 为没有平方因子的正整数。求 $a+b+c$ 2022-04-17 19:31:11
15196 5c944b8f210b286d125ef587 高中 解答题 自招竞赛 $\Delta ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 满足 $\cos 3A+\cos 3B+\cos 3C\text{=}1$，三角形有两边长分别为 $10$ 与 $13$ 。设第三边的最大值为 $\sqrt{m}$，其中 $m$ 是正整数，求 $m$ 的值 2022-04-17 19:30:11
15123 5cd0fce2210b28021fc75eca 高中 解答题 自招竞赛 $\triangle ABC$ 中，$A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c,\tan C=\dfrac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B},\sin(B-A)=\cos C$． 2022-04-17 19:47:10
15092 5d1311ae210b280220ed4e53 高中 解答题 自招竞赛 设锐角 $\triangle ABC$ 的三边长互不相等，$ O$ 为其外心，点 $A^\prime$ 在线段 $ AO $ 的延长线上，使得 $\angle B A^{\prime} A=\angle C A^{\prime} A$．过 $A^{\prime}$ 作 $A^{\prime} A_{1} \perp A C, A^{\prime} A_{2} \perp A B$，垂足分别为 $A_{1}, A_{2}$，作 $A H_{A} \perp B C$，垂足为 $H_{A}$．记 $\triangle H_{A} A_{1} A_{2}$ 的外接圆半径为 $R_A$，类似地可 $R_{B}, R_{C}$．求证：$\dfrac{1}{R_{A}}+\dfrac{1}{R_{B}}+\dfrac{1}{R_{C}}=\dfrac{2}{R}$
其中，$R$ 为 $ \triangle ABC$ 的外接圆半径．		 2022-04-17 19:31:10
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