等边 $\Delta ABC$ 中，$D\text{,}E$ 三分 $BC$ 。 $\sin \left( \angle DAE \right)$ 可被表示为 $\frac{a\sqrt{b}}{c}$，其中 $a\text{,}c$ 为互质正整数，$b$ 为没有平方因子的正整数。求 $a+b+c$
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
020
【解析】
我们不妨设三角形边长为 $3$ 。设 $M$ 是 $DE$ 中点，则 $MC=\frac{3}{2},AC=3,AM=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 。由毕达哥拉斯定理，$AE=\sqrt{7}$ 。 $\sin \left( \angle EAM \right)\text{=}\frac{1}{2\sqrt{7}}$，$\cos\left( \angle EAM \right)\text{=}\sqrt{1-\sin {{\left( \angle EAM\right)}^{2}}}\text{=}\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$ 。 $\sin\left(\angle EAD \right)\text{=}2\sin \left(\angle EAM \right)\cos \left(\angle EAM \right)\text{=}\frac{3\sqrt{3}}{14}\to a+b+c\text{=}020$
答案
解析
备注
