已知 $A,B,C$ 为 $\triangle ABC$ 的三个内角，求证：$\cos B + \cos C + \dfrac{{2a}}{{b + c}} \geqslant 4\sin \dfrac{A}{2}$．
【难度】
【出处】
2008年浙江大学自主招生保送生测试试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由正弦定理，原不等式等价于$$ \cos B + \cos C + \dfrac{{2\sin A}}{{\sin B + \sin C}} \geqslant 4\sin \dfrac{A}{2},$$利用积化和差与二倍角公式得$$ \cos B + \cos C + \dfrac{{4\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}}{{2\sin \frac{{B + C}}{2}\cos \frac{{B - C}}{2}}} \geqslant 4\sin \dfrac{A}{2},$$进一步整理得$$2\cos \dfrac{{B + C}}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} + \dfrac{{2\sin \dfrac{A}{2}}}{{\cos \frac{{B - C}}{2}}} \geqslant 4\sin \dfrac{A}{2},$$由均值不等式，上式成立，原命题得证．
答案
解析
备注
