题目 在 $\triangle{ABC}$ 中，$a,b,c$ 分别为内角 $A,B,C$ 所对的边，且满足 $\sin A+\sqrt 3 \cos A=2$． 问题1 求 $A$ 的大小； 答案1 $\dfrac{\pi}{6}$ 解析1 依题意得$$\sin\left(A+\dfrac{\pi}{3}\right)=1.$$因为 $0<A<\pi$，所以$$\dfrac{\pi}{3}<A+\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{4\pi}{3},$$从而$$A+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2},$$所以 $A=\dfrac{\pi}{6}$． 备注1 问题2 现给出三个条件：① $a=2$；② $B=45^{\circ}$；③ $c=\sqrt 3 b$．<br/>试从中选出两个可以确定 $\triangle{ABC}$ 的条件，写出你的选择并以此为依据求 $\triangle{ABC}$ 的面积．（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分） 答案2 选择 ①②（或 ①③） 解析2 方案一：选择 ①②．<br/>因为$$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B},$$所以 $b=2\sqrt 2$．<br/>因为$$A+B+C=\pi,$$所以$$\begin{split}\sin C&=\sin(A+B)\\&=\sin A\cos B+\cos A\sin B\\&=\dfrac{\sqrt 2+\sqrt 6}{4},\end{split}$$因此 $\triangle ABC$ 的面积为$$\begin{split}S&=\dfrac ab\sin C\\&=\dfrac 12 \times 2\times 2\sqrt 2 \times \dfrac{\sqrt 2+\sqrt 6}{4}\\&=\sqrt 3 +1.\end{split}$$方案二：选择 ①③．<br/>由余弦定理$$b^2+c^2-2bc\cos A=a^2,$$有$$b^2+3b^2-3b^2=4,$$则 $b=2$，$c=2\sqrt 3$，因此 $\triangle ABC$ 的面积为$$S=\dfrac 12bc\sin A=\dfrac 12 \times 2\times 2\sqrt 3 \times \dfrac 12=\sqrt 3.$$ 备注2 若选择 ②③，由 $c=\sqrt 3b$ 得$$\sin C=\sqrt {\sin B}=\dfrac{\sqrt 6}{2}>1$$不成立，这样的三角形不存在．